Angle de sept-douzièmes via un produit de complexes

L'angle $\frac{7\pi }{12}$

On pose $b=\left(1-\sqrt{3}\right)+i\left(1+\sqrt{3}\right)$ et $a=(1+i)b$.

1. Montrer que $a=-2\sqrt{3}+2i$, puis calculer $|a|$.

2. Écrire $a$ puis $b$ sous forme trigonométrique.

3. En déduire les valeurs exactes de $\cos \frac{7\pi }{12}$ et $\sin \frac{7\pi }{12}$.