Soit A = ( 3 0 1 2 ) à valeurs propres λ 1 = 2 et λ 2 = 3 . Trouver les vecteurs propres v 1 et v 2 , former P = [ v 1 ∣ v 2 ] . Vérifier A = P D P − 1 avec D = ( 2 0 0 3 ) . En déduire A n .

Diagonalisation et calcul de $A^n$

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

Soit $A = (3012)$ à valeurs propres $λ_{1} = 2$ et $λ_{2} = 3$ .

Trouver les vecteurs propres $v_{1}$ et $v_{2}$ , former $P = [v_{1} ∣ v_{2}]$ .
Vérifier $A = P D P^{- 1}$ avec $D = (2003)$ .
En déduire $A^{n}$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour trouver un vecteur propre associe a une valeur propre $\\lambda$, resous le systeme $(A - \\lambda I)v = 0$ pour chacune des deux valeurs propres donnees.

2 Indice 2

Une fois $P$ forme avec les deux vecteurs propres en colonnes, calcule $P^{-1}$ a l'aide du determinant de $P$, puis verifie le produit $PDP^{-1}$ terme par terme.

3 Indice 3

Pour obtenir $A^n$, utilise la relation $A^n = PD^nP^{-1}$ en remarquant que $D$ etant diagonale, $D^n$ s'obtient facilement en elevant chaque terme diagonal a la puissance $n$.

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