Matrices — Résumé de cours

1ère Année Collège — Lumaths.ma

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1. Définition et notation

Une matrice de taille $n \times p$ est un tableau de nombres à $n$ lignes et $p$ colonnes. On note $A = (a_{ij})$ , où $a_{ij}$ est le coefficient situé à la ligne $i$ et la colonne $j$ . Exemple : $A = (23 - 1 5 04)$ est une matrice $2 \times 3$ ; ici $a_{13} = 0$ et $a_{21} = 3$ . Deux matrices sont égales si elles ont la même taille et les mêmes coefficients à chaque position.

2. Matrices particulières

Une matrice est carrée d'ordre $n$ lorsqu'elle a autant de lignes que de colonnes ( $n \times n$ ). La matrice nulle ne contient que des $0$ . La matrice identité d'ordre $n$ , notée $I_{n}$ , a des $1$ sur la diagonale principale et des $0$ ailleurs : $I_{2} = (1001)$ . Une matrice diagonale n'a de coefficients non nuls que sur la diagonale, comme $(30 0 - 2)$ . La matrice identité joue le rôle du nombre $1$ : $A \times I_{n} = I_{n} \times A = A$ .

3. Somme et produit par un réel

On additionne deux matrices de même taille coefficient par coefficient : $(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$ . On multiplie une matrice par un réel $k$ en multipliant chaque coefficient : $(k A)_{ij} = k a_{ij}$ . Exemple : $2 (1 - 1 03) = (2 - 2 06)$ . Ces opérations suivent les règles usuelles : commutativité et associativité de l'addition, distributivité $k (A + B) = k A + k B$ .

4. Produit matriciel

Le produit $A \times B$ n'est défini que si le nombre de colonnes de $A$ est égal au nombre de lignes de $B$ . Si $A$ est $n \times p$ et $B$ est $p \times q$ , alors $A B$ est $n \times q$ , et son coefficient $(i, j)$ vaut $k = 1 \sum p a_{ik} b_{k j}$ : on combine la ligne $i$ de $A$ avec la colonne $j$ de $B$ . Exemple : $(1023) (45) = (1 \times 4 + 2 \times 5 0 \times 4 + 3 \times 5) = (1415)$ .

5. Non-commutativité du produit

Contrairement aux nombres, le produit de matrices n'est pas commutatif : en général $A B \neq = B A$ . Exemple : avec $A = (1011)$ et $B = (1101)$ , on trouve $A B = (2111)$ mais $B A = (1112)$ . Il faut donc respecter l'ordre des facteurs. Le produit reste cependant associatif, $A (B C) = (A B) C$ , et distributif sur l'addition.

6. Puissances d'une matrice carrée

Pour une matrice carrée $A$ , on définit ses puissances : $A^{1} = A$ , $A^{2} = A \times A$ , et plus généralement $A^{n} = A \times A^{n - 1}$ , avec la convention $A^{0} = I_{n}$ . Exemple : si $D = (2003)$ est diagonale, alors $D^{n} = (2^{n} 0 0 3^{n})$ : c'est la grande facilité des matrices diagonales. Pour les autres, on cherche une formule par conjecture et récurrence, ou une décomposition.

7. Matrice inverse (cas $2 \times 2$ )

Une matrice carrée $A$ est inversible s'il existe une matrice $A^{- 1}$ telle que $A \times A^{- 1} = A^{- 1} \times A = I_{n}$ . Pour $A = (a c b d)$ , on appelle déterminant le nombre $det (A) = a d - b c$ . La matrice $A$ est inversible si et seulement si $det (A) \neq = 0$ , et alors $A^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} (d - c - b a)$ . Exemple : pour $A = (1324)$ , $det (A) = 4 - 6 = - 2 \neq = 0$ , donc $A^{- 1} = - \frac{1}{2} (4 - 3 - 2 1) = (- 2 \frac{3}{2} 1 - \frac{1}{2})$ .

8. Systèmes linéaires $A X = B$

Un système de $n$ équations à $n$ inconnues s'écrit sous forme matricielle $A X = B$ , où $A$ est la matrice des coefficients, $X$ la colonne des inconnues et $B$ la colonne des seconds membres. Exemple : ${x + 2 y = 5 3 x + 4 y = 6$ devient $(1324) (x y) = (56)$ . Si $A$ est inversible, le système admet une unique solution donnée par $X = A^{- 1} B$ .

9. Résolution par la matrice inverse

L'intérêt de l'écriture matricielle est qu'on résout $A X = B$ exactement comme une équation $a x = b$ : on « divise » par $A$ en multipliant à gauche par $A^{- 1}$ . De $A X = B$ on tire $A^{- 1} (A X) = A^{- 1} B$ , soit $(A^{- 1} A) X = A^{- 1} B$ , donc $I_{n} X = A^{- 1} B$ et finalement $X = A^{- 1} B$ . L'ordre compte : on multiplie bien $A^{- 1}$ à gauche des deux membres.

10. Suites de matrices $U_{n + 1} = A U_{n}$

De nombreux problèmes (évolution de populations, marches aléatoires, modèles à plusieurs états) se modélisent par une suite de matrices colonnes vérifiant $U_{n + 1} = A U_{n}$ , où $A$ est une matrice carrée fixe. On démontre alors par récurrence la formule explicite $U_{n} = A^{n} U_{0}$ . Le calcul de $U_{n}$ se ramène ainsi à celui de la puissance $A^{n}$ .

11. Calcul de $A^{n}$ par récurrence

Pour obtenir $A^{n}$ , on calcule les premières puissances $A^{2}$ , $A^{3}$ , on conjecture une expression générale, puis on la démontre par récurrence. Pour une matrice diagonale, la puissance est immédiate (élever chaque coefficient diagonal à la puissance $n$ ). Sinon, on cherche parfois à écrire $A = P D P^{- 1}$ avec $D$ diagonale, d'où $A^{n} = P D^{n} P^{- 1}$ .

12. Applications

Les matrices interviennent dans la résolution de systèmes, l'étude de suites couplées, les chaînes de Markov (matrices de transition dont les colonnes ont pour somme $1$ ), les transformations géométriques du plan (rotations, symétries) et de nombreux modèles d'évolution. Leur force est de transformer des calculs répétitifs en opérations algébriques simples et systématiques.

✍️ Exemples résolus & démonstrations

Exemple 1 — Produit matriciel et puissances d'une matrice

Énoncé. On considère la matrice $A = (2113)$ . Calculer $A^{2}$ et $A^{3}$ .

Solution.

On rappelle la règle du produit : le coefficient situé ligne $i$ , colonne $j$ s'obtient en multipliant la $i$ -ème ligne du facteur de gauche par la $j$ -ème colonne du facteur de droite, terme à terme, puis en sommant.
On calcule $A^{2} = A \times A = (2113) (2113)$ , coefficient par coefficient : $(A^{2})_{1, 1} (A^{2})_{2, 1} = 2 \times 2 + 1 \times 1 = 5, = 1 \times 2 + 3 \times 1 = 5, (A^{2})_{1, 2} (A^{2})_{2, 2} = 2 \times 1 + 1 \times 3 = 5, = 1 \times 1 + 3 \times 3 = 10.$
On obtient donc : $A^{2} = (55510) .$
On calcule ensuite $A^{3} = A^{2} \times A = (55510) (2113)$ : $(A^{3})_{1, 1} (A^{3})_{2, 1} = 5 \times 2 + 5 \times 1 = 15, = 5 \times 2 + 10 \times 1 = 20, (A^{3})_{1, 2} (A^{3})_{2, 2} = 5 \times 1 + 5 \times 3 = 20, = 5 \times 1 + 10 \times 3 = 35.$
On conclut : $A^{3} = (15202035) .$ Remarque : $A$ étant symétrique, $A^{2}$ et $A^{3}$ le sont aussi, ce qui constitue un contrôle de cohérence. $✓$

Exemple 2 — Inverse d'une matrice $2 \times 2$ et résolution d'un système $A X = B$

Énoncé. Soit $A = (3121)$ . Montrer que $A$ est inversible, calculer $A^{- 1}$ , puis résoudre le système $A X = B$ avec $X = (x y)$ et $B = (73)$ .

Solution.

Pour une matrice $A = (a c b d)$ , le déterminant vaut $det (A) = a d - b c$ et $A$ est inversible si et seulement si $det (A) \neq = 0$ . On calcule ici : $det (A) = 3 \times 1 - 2 \times 1 = 3 - 2 = 1.$ Comme $det (A) = 1 \neq = 0$ , la matrice $A$ est inversible.
On applique la formule de l'inverse d'une matrice $2 \times 2$ : $A^{- 1} = \frac{1}{det ( A )} (d - c - b a) = \frac{1}{1} (1 - 1 - 2 3) = (1 - 1 - 2 3) .$
Vérification : $A \times A^{- 1} = (3121) (1 - 1 - 2 3) = (3 - 2 1 - 1 - 6 + 6 - 2 + 3) = (1001) = I_{2} .$ $✓$
Le système $A X = B$ équivaut, en multipliant à gauche par $A^{- 1}$ , à $X = A^{- 1} B$ : $X = (1 - 1 - 2 3) (73) = (1 \times 7 + (- 2) \times 3 (- 1) \times 7 + 3 \times 3) = (7 - 6 - 7 + 9) = (12) .$
On conclut que le système admet l'unique solution $x = 1$ et $y = 2$ . Vérification dans le système initial ${3 x + 2 y = 7 x + y = 3$ : $3 \times 1 + 2 \times 2 = 3 + 4 = 7$ et $1 + 2 = 3$ . $✓$

Exemple 3 — Suites couplées et écriture matricielle $U_{n + 1} = A U_{n}$

Énoncé. Deux villes $X$ et $Y$ se partagent $300$ habitants. Chaque année, $80%$ des habitants de $X$ y restent et $20%$ partent vers $Y$ ; de même $70%$ des habitants de $Y$ y restent et $30%$ partent vers $X$ . On note $x_{n}$ et $y_{n}$ les effectifs au bout de $n$ années, avec $U_{n} = (x_{n} y_{n})$ et $U_{0} = (100200)$ . Déterminer la matrice $A$ telle que $U_{n + 1} = A U_{n}$ , puis calculer $U_{1}$ , $U_{2}$ et $U_{3}$ .

Solution.

On traduit l'énoncé : l'effectif de $X$ l'année suivante provient des $80%$ restés en $X$ et des $30%$ venus de $Y$ , soit $x_{n + 1} = 0, 8 x_{n} + 0, 3 y_{n}$ . De même $y_{n + 1} = 0, 2 x_{n} + 0, 7 y_{n}$ .
On écrit ce système couplé sous forme matricielle $U_{n + 1} = A U_{n}$ avec : $A = (0, 8 0, 2 0, 3 0, 7) .$ Chaque colonne de $A$ a pour somme $1$ , ce qui est cohérent avec une répartition de population (matrice stochastique).
On calcule $U_{1} = A U_{0} = (0, 8 0, 2 0, 3 0, 7) (100200)$ : $U_{1} = (0, 8 \times 100 + 0, 3 \times 200 0, 2 \times 100 + 0, 7 \times 200) = (80 + 60 20 + 140) = (140160) .$
On calcule $U_{2} = A U_{1} = (0, 8 0, 2 0, 3 0, 7) (140160)$ : $U_{2} = (0, 8 \times 140 + 0, 3 \times 160 0, 2 \times 140 + 0, 7 \times 160) = (112 + 48 28 + 112) = (160140) .$
On calcule $U_{3} = A U_{2} = (0, 8 0, 2 0, 3 0, 7) (160140)$ : $U_{3} = (0, 8 \times 160 + 0, 3 \times 140 0, 2 \times 160 + 0, 7 \times 140) = (128 + 42 32 + 98) = (170130) .$
On conclut $U_{1} = (140160)$ , $U_{2} = (160140)$ et $U_{3} = (170130)$ . À chaque étape la somme des effectifs reste égale à $300$ , ce qui confirme la conservation de la population. $✓$

🔑 Formules clés à retenir

Coefficient du produit : $(A B)_{ij} = k = 1 \sum p a_{ik} b_{k j}$ (ligne $i$ de $A$ par colonne $j$ de $B$ ).
Compatibilité des tailles : $A$ de taille $n \times p$ et $B$ de taille $p \times q$ donnent $A B$ de taille $n \times q$ .
Élément neutre : $A \times I_{n} = I_{n} \times A = A$ .
Déterminant $2 \times 2$ : pour $A = (a c b d)$ , $det (A) = a d - b c$ .
Condition d'inversibilité : $A$ inversible $⟺ det (A) \neq = 0$ .
Inverse $2 \times 2$ : $A^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} (d - c - b a)$ .
Système linéaire : si $A$ est inversible, $A X = B ⟺ X = A^{- 1} B$ .
Suite de matrices : $U_{n + 1} = A U_{n} ⟹ U_{n} = A^{n} U_{0}$ .
Puissance d'une diagonale : $(a 0 0 d)^{n} = (a^{n} 0 0 d^{n})$ .
Diagonalisation : si $A = P D P^{- 1}$ avec $D$ diagonale, alors $A^{n} = P D^{n} P^{- 1}$ .

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Concepts interactifs liés

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Les matrices

Des tableaux de nombres qui transforment l'espace

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Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

$A B \neq = B A$ : l'ordre est crucial. Le produit matriciel n'est pas commutatif. Ne jamais « inverser » deux facteurs dans un calcul. En particulier, $(A + B)^{2} = A^{2} + A B + B A + B^{2}$ et non $A^{2} + 2 A B + B^{2}$ , sauf si $A$ et $B$ commutent.
Multiplier à gauche pour résoudre $A X = B$ . On écrit $X = A^{- 1} B$ , pas $X = B A^{- 1}$ . Comme le produit n'est pas commutatif, multiplier du mauvais côté donne un résultat faux (ou une opération même pas définie).
Inversibilité $⟺ det \neq = 0$ . Toujours calculer $a d - b c$ avant d'inverser. Si $det (A) = 0$ , la matrice n'a pas d'inverse et le système $A X = B$ n'a pas de solution unique.
Tailles compatibles pour le produit. $A B$ n'existe que si le nombre de colonnes de $A$ égale le nombre de lignes de $B$ . Vérifier ce point évite de se lancer dans un calcul impossible.
Ne pas « simplifier » par une matrice. De $A B = A C$ on ne peut pas déduire $B = C$ en général : c'est seulement vrai si $A$ est inversible (on multiplie alors par $A^{- 1}$ à gauche).
$A^{2} = 0$ n'impose pas $A = 0$ . Une matrice non nulle peut avoir un carré nul (matrice nilpotente). L'intuition des nombres réels ne se transpose pas aux matrices.
Signes dans l'inverse $2 \times 2$ . On échange $a$ et $d$ , mais on ne change que les signes de $b$ et $c$ : erreur fréquente d'inverser les rôles ou d'oublier le facteur $\frac{1}{d e t ( A )}$ .

Matrices — Fiche d'exercices

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Exercices Faciles

20 exercices

Addition et multiplication scalaire de matrices

Facile

Énoncé

Soient $A = (13 - 2 0)$ et $B = (4 - 1 12)$ .

Calculer $A + B$ .
Calculer $2 A - B$ .
Calculer $A^{T}$ (transposée de $A$ ).

Ma réponse

Matrices

Matrices — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

1. Définition et notation

2. Matrices particulières

3. Somme et produit par un réel

4. Produit matriciel

5. Non-commutativité du produit

6. Puissances d'une matrice carrée

7. Matrice inverse (cas 2×2)

8. Systèmes linéaires AX=B

9. Résolution par la matrice inverse

10. Suites de matrices Un+1​=AUn​

11. Calcul de An par récurrence

12. Applications

✍️ Exemples résolus & démonstrations

Exemple 1 — Produit matriciel et puissances d'une matrice

Exemple 2 — Inverse d'une matrice 2×2 et résolution d'un système AX=B

Exemple 3 — Suites couplées et écriture matricielle Un+1​=AUn​

🔑 Formules clés à retenir

Concepts interactifs liés

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

Matrices — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Addition et multiplication scalaire de matrices

Produit de matrices 2×2 et non-commutativité

Déterminant d'une matrice 2×2 et inversibilité

Trace d'une matrice et propriétés

Addition de matrices 2×2

Produit matriciel : ordre des facteurs et carré d'une matrice

Combinaison linéaire, produit et carré de matrices 2x2

Calcul d'un produit matriciel 2×2 et matrice identité

Calcul de puissances successives d'une matrice

Calcul des premières puissances d'une matrice 2×2

Calcul du déterminant et inverse d'une matrice 2×2

Graphe d'état à deux états : lecture de la matrice de transition

Matrice non inversible — condition sur un paramètre

Multiplication d'une matrice par un scalaire et matrice nulle

Produit matriciel et matrice identité : premiers calculs

Puissances d'une matrice triangulaire supérieure

Résolution d'un système 2×2 par matrice inverse

Suite vectorielle simple : expression de $U_n$

Transposées de deux matrices 2×2 et propriétés

Valeurs propres et vecteurs propres d'une matrice 2×2

Exercices Intermédiaires

Inverse de la matrice A=(3,5;1,2)

Système 3x+5y=1, x+2y=0 par matrice inverse

Puissances d'une matrice et récurrence

Déterminant d'une matrice 3×3

Matrice de rotation et isométrie

Matrice nilpotente et $(I+N)^n$

Rang d'une matrice par échelonnage

Décomposition symétrique–antisymétrique

Matrices orthogonales

Calcul par blocs et puissances

Matrice idempotente (projecteur)

Norme euclidienne et transformations matricielles

Associativité et distributivité du produit matriciel

Inverse d'une matrice 2x2 et résolution matricielle d'un système

Inverse d'une matrice 2x2 et résolution d'un système AX=B

Calcul d'un inverse par la formule 2×2

Diagonalisation d'une matrice 2×2 et calcul de $A^n$

Diagonalisation d'une matrice 2×2 et calcul de puissance

Équation matricielle et inverse

Graphe d'état à trois états et matrice de transition

Inverse d'une matrice 2x2 et résolution d'un système AX = B

Matrice nilpotente et puissances itérées

Modèle de transition démographique par matrice de Leslie

Non-commutativité du produit matriciel

Système 3x+2y=7, x+y=3 par matrice inverse

Résolution d'un système modélisant une situation économique

Suite vectorielle et diagonalisation : modèle de population

Suite vectorielle : résolution complète avec conditions initiales

Exercices Difficiles

Inverse d'une matrice 3×3 par les cofacteurs

Résolution d'un système 3×3 par élimination de Gauss

Suite vectorielle définie par récurrence matricielle

7. Matrice inverse (cas $2 \times 2$ )

8. Systèmes linéaires $A X = B$

10. Suites de matrices $U_{n + 1} = A U_{n}$

11. Calcul de $A^{n}$ par récurrence

Exemple 2 — Inverse d'une matrice $2 \times 2$ et résolution d'un système $A X = B$

Exemple 3 — Suites couplées et écriture matricielle $U_{n + 1} = A U_{n}$