Congruences, ordre d'un entier et restes chinois

Cet exercice combine le calcul de congruences et la résolution d'un système.

Partie A — Une grande puissance modulo 7.

1. Déterminer les restes de $2^1,2^2,2^3$ modulo $7$, puis établir que la suite des restes de $2^n$ modulo $7$ est périodique de période $3$.

2. En déduire le reste de la division euclidienne de $2^{2026}$ par $7$.

Partie B — Un système de congruences.

On cherche les entiers relatifs $x$ vérifiant le système :

$$(S):\{\begin{array}{l}x\equiv 4(\mathrm{mod}9)\\ x\equiv 7(\mathrm{mod}11)\end{array}$$

3. Justifier que résoudre la deuxième congruence revient à résoudre une congruence linéaire en $t$, après avoir posé $x=4+9t$.

4. En déterminant l'inverse de $9$ modulo $11$, résoudre cette congruence en $t$, puis en déduire l'ensemble des solutions de $(S)$.