Petit théorème de Fermat et équation diophantienne 11x - 7y = 1

Cet exercice combine le petit théorème de Fermat et la résolution d'une équation diophantienne.

Partie A — Petit théorème de Fermat.

1. Énoncer le petit théorème de Fermat et l'appliquer pour justifier que $2^{10}\equiv 1(\mathrm{mod}11)$.

2. En déduire le reste de la division euclidienne de $2^{2026}$ par $11$.

Partie B — Une équation diophantienne.

On considère l'équation, d'inconnue $(x,y)\in {\mathbb{Z}}^2$ :

$$(E):11x-7y=1.$$

3. Vérifier que $(2,3)$ est une solution de $(E)$, puis déterminer l'ensemble de toutes les solutions à l'aide du théorème de Gauss.

4. En déduire la plus petite solution $(x,y)$ pour laquelle $x$ et $y$ sont tous deux strictement positifs.