1. Montrer que si $p>3$ est un nombre premier, alors $p\equiv 1(\mathrm{mod}6)$ ou $p\equiv 5(\mathrm{mod}6)$.
2. En déduire que $p^2$ $\equiv 1(\mathrm{mod}12)$.
3. Montrer de plus que $p^2$ $\equiv 1(\mathrm{mod}24)$ pour tout premier $p>3$.

Soit a = 7, b = 3, et n = 4. Montrez que a + b $\equiv 2(\mathrm{mod}n)$.

Énoncé

On considère dans ${\mathbb{Z}}^2$ l'équation $(E):3x^2+3x+7=y^3$.

1. Montrer que l'équation ${\overline{x}}^2+\overline{x}+\overline{2}=\overline{0}$ n'admet pas de solution dans $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$.

2. En déduire que $(E)$ n'admet aucune solution dans ${\mathbb{Z}}^2$.

Étude de $a_n=2^n+3^n+6^n-1$

Pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on pose $a_n=2^n+3^n+6^n-1$.

1. Vérifier que $a_n$ est pair pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, puis déterminer les valeurs de $n$ telles que $a_n\equiv 0[3]$.
2. Soit $p$ un nombre premier tel que $p>3$.
   1. Montrer que $2^{p-1}\equiv 1[p]$, $3^{p-1}\equiv 1[p]$ et $6^{p-1}\equiv 1[p]$.
   2. Montrer que $p$ divise $a_{p-2}$.

Partie I

Résoudre dans ${\mathbb{Z}}^2$ l'équation $(E):143u-100v=1$.

Partie II

On considère dans $\mathbb{N}$ l'équation $(F):x^{143}\equiv 3[101]$. Soit $x$ une solution de $(F)$.

1. a) Montrer que $101$ est premier et que $x\wedge 101=1$.

   b) Montrer que $x^{100}\equiv 1[101]$ et que $x\equiv 3^7[101]$ (on remarquera que $143\times 7=1+100\times 10$).

2. Montrer réciproquement que si un entier naturel $x$ vérifie $x\equiv 3^7[101]$, alors $x$ est solution de $(F)$.

3. En déduire que les solutions de $(F)$ sont les entiers de la forme $66+101k$, $k\in \mathbb{N}$.

Pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on pose $a_n=2^n+3^n+6^n-1$.

1. a) Vérifier que $a_n$ est pair pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

   b) Déterminer les valeurs de $n$ pour lesquelles $a_n\equiv 0[3]$.

2. Soit $p$ un nombre premier tel que $p>3$.

   1. Montrer que $2^{p-1}\equiv 1[p]$, $3^{p-1}\equiv 1[p]$ et $6^{p-1}\equiv 1[p]$.

   2. Montrer que $p$ divise $a_{p-2}$.

3. Montrer que pour tout nombre premier $q$, il existe un entier $n⩾1$ tel que $a_n\wedge q=q$.

Résoudre l'équation 9x + 6y = 3.

Exercice 4 — PGCD paramétré, théorème de Gauss et entiers premiers entre eux

Soit n un entier naturel non nul. On pose a = 2n + 3 et b = 3n + 4.

Partie A — Étude du PGCD

1. Montrer que $\text{pgcd}(a,b)=\text{pgcd}(2n+3,1)$ en effectuant une combinaison linéaire appropriée. En déduire que $\text{pgcd}(2n+3,3n+4)=1$ pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.
2. En utilisant une autre combinaison, retrouver ce résultat en calculant $\text{pgcd}(a,b)$ via $\text{pgcd}(b,2b-3a)$.

Partie B — Application au théorème de Gauss

3. Soit p un entier naturel tel que $(2n+3)\mid p$ et $(3n+4)\mid p$. Montrer que $(2n+3)(3n+4)\mid p$. Quel théorème utilise-t-on ?
4. Déterminer le plus petit entier naturel non nul p divisible à la fois par $a=2n+3$ et $b=3n+4$, et exprimer $\text{ppcm}(a,b)$ en fonction de n.

Partie C — Équation et congruence

5. Montrer qu'il existe des entiers u et v tels que $(2n+3)u+(3n+4)v=1$. Trouver un couple solution pour $n=3$.
6. Pour $n=3$, résoudre dans $\mathbb{Z}$ l'équation (E) : $9x\equiv 5(\mathrm{mod}13)$ en utilisant les résultats précédents.

Exercice 5 — Théorème de Gauss et étude de diviseurs (Niveau : Difficile)

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On pose d = pgcd(n, n+1).

1. Montrer que d | 1, et en déduire que n et n+1 sont premiers entre eux.
2. Soit a et b deux entiers tels que a | n et b | (n+1), avec pgcd(a, b) = 1. Montrer que ab | n(n+1).
3. On pose P(n) = $n(n+1)(2n+1)$. Montrer que 6 | P(n) pour tout entier naturel n $\ge$ 1.
   Indication : on étudiera la divisibilité par 2 et par 3 séparément en utilisant les congruences.
4. On admet que $\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$. En déduire que la somme des carrés des 10 premiers entiers naturels non nuls est un entier, et calculer cette somme.

Cet exercice combine le calcul de congruences et la résolution d'un système.

Partie A — Une grande puissance modulo 7.

1. Déterminer les restes de $4^1,4^2,4^3$ modulo $7$, puis établir que la suite des restes de $4^n$ modulo $7$ est périodique de période $3$.

2. En déduire le reste de la division euclidienne de $4^{2025}$ par $7$.

Partie B — Un système de congruences.

On cherche les entiers relatifs $x$ vérifiant :

$$(S):\{\begin{array}{l}x\equiv 3(\mathrm{mod}7)\\ x\equiv 5(\mathrm{mod}8)\end{array}$$

3. Justifier que, en posant $x=3+7t$, résoudre la seconde congruence revient à résoudre une congruence linéaire en $t$.

4. En déterminant l'inverse de $7$ modulo $8$, résoudre cette congruence en $t$, puis en déduire l'ensemble des solutions de $(S)$.

Cet exercice combine le petit théorème de Fermat et la résolution d'une équation diophantienne.

Partie A — Petit théorème de Fermat.

1. Énoncer le petit théorème de Fermat et l'appliquer pour justifier que $2^{10}\equiv 1(\mathrm{mod}11)$.

2. En déduire le reste de la division euclidienne de $2^{2026}$ par $11$.

Partie B — Une équation diophantienne.

On considère l'équation, d'inconnue $(x,y)\in {\mathbb{Z}}^2$ :

$$(E):11x-7y=1.$$

3. Vérifier que $(2,3)$ est une solution de $(E)$, puis déterminer l'ensemble de toutes les solutions à l'aide du théorème de Gauss.

4. En déduire la plus petite solution $(x,y)$ pour laquelle $x$ et $y$ sont tous deux strictement positifs.

Cet exercice combine le calcul de congruences et la résolution d'un système.

Partie A — Une grande puissance modulo 7.

1. Déterminer les restes de $2^1,2^2,2^3$ modulo $7$, puis établir que la suite des restes de $2^n$ modulo $7$ est périodique de période $3$.

2. En déduire le reste de la division euclidienne de $2^{2026}$ par $7$.

Partie B — Un système de congruences.

On cherche les entiers relatifs $x$ vérifiant le système :

$$(S):\{\begin{array}{l}x\equiv 4(\mathrm{mod}9)\\ x\equiv 7(\mathrm{mod}11)\end{array}$$

3. Justifier que résoudre la deuxième congruence revient à résoudre une congruence linéaire en $t$, après avoir posé $x=4+9t$.

4. En déterminant l'inverse de $9$ modulo $11$, résoudre cette congruence en $t$, puis en déduire l'ensemble des solutions de $(S)$.