X ∼ N ( μ ; σ 2 ) , densité f . Montrer f ( μ + t ) = f ( μ − t ) . Maximum de f en μ . Déduire E [ X ] = μ par symétrie.

Loi normale et densité — vérification de propriétés

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

$X \sim N (μ; σ^{2})$ , densité $f$ .

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1 Indice 1

Écris explicitement la densité $f(x)$ de la loi normale et remplace $x$ par $\mu+t$ puis par $\mu-t$.

2 Indice 2

Compare les deux expressions obtenues pour en déduire la symétrie de $f$ par rapport à $\mu$.

3 Indice 3

Pense au lien entre symétrie d'une densité et position de l'espérance.

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