Probabilités et statistiques — Résumé de cours

1ère Année Collège — Lumaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

Variable aléatoire

Une variable aléatoire $X$ associe à chaque issue d'une expérience aléatoire un nombre réel. On distingue les variables discrètes (valeurs isolées, ex. nombre de succès) et continues (valeurs dans un intervalle, ex. une durée).

Exemple : on lance deux dés, $X$ = somme des faces prend les valeurs $2, 3, \dots, 12$ .

Loi de probabilité

La loi de probabilité d'une variable discrète $X$ donne, pour chaque valeur $x_{i}$ , la probabilité $p_{i} = P (X = x_{i})$ . On a toujours $i \sum p_{i} = 1$ et chaque $p_{i} \in [0; 1]$ .

Espérance et variance

L'espérance $E (X) = i \sum x_{i} p_{i}$ représente la valeur moyenne attendue. La variance $V (X) = i \sum p_{i} (x_{i} - E (X))^{2} = E (X^{2}) - E (X)^{2}$ mesure la dispersion, et l'écart-type est $σ (X) = V (X)$ . Propriétés : $E (a X + b) = a E (X) + b$ et $V (a X + b) = a^{2} V (X)$ .

Loi binomiale

On répète $n$ fois, de façon indépendante, une épreuve de Bernoulli à deux issues (succès de probabilité $p$ , échec $1 - p$ ). Le nombre de succès $X$ suit la loi binomiale $B (n; p)$ avec $P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ . On a $E (X) = n p$ et $V (X) = n p (1 - p)$ .

Exemple : un QCM de $20$ questions, $1$ chance sur $4$ par question : $X \sim B (20; 0, 25)$ , $E (X) = 5$ .

Loi uniforme (continue)

La loi uniforme sur $[a; b]$ modélise un tirage "au hasard" d'un réel, toutes les zones de même longueur étant équiprobables. Sa densité est constante $f (x) = \frac{1}{b - a}$ sur $[a; b]$ , et $P (c \leq X \leq d) = \frac{d - c}{b - a}$ . Espérance : $E (X) = \frac{a + b}{2}$ .

Loi à densité

Pour une variable continue, la probabilité s'obtient par une aire sous une courbe : $P (a \leq X \leq b) = a \int b f (x) d x$ , où la densité $f$ vérifie $f \geq 0$ et $- \infty \int + \infty f (x) d x = 1$ . Conséquence importante : $P (X = a) = 0$ , donc les inégalités strictes ou larges donnent la même probabilité.

Loi normale

La loi normale $N (μ; σ^{2})$ a pour paramètres l'espérance $μ$ (centre) et l'écart-type $σ$ (étalement). Sa densité dessine la célèbre courbe en cloche, symétrique par rapport à $x = μ$ . La loi $N (0; 1)$ est dite normale centrée réduite.

Intervalles 1σ, 2σ, 3σ

Pour $X \sim N (μ; σ^{2})$ , des valeurs à connaître : $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0, 68$ , $P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0, 95$ , $P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) \approx 0, 997$ . Ainsi presque toutes les valeurs sont à moins de $3 σ$ de la moyenne.

Approximation d'une loi binomiale

Quand $n$ est grand, une loi binomiale $B (n; p)$ peut être approchée par une loi normale de mêmes paramètres : $μ = n p$ et $σ = n p (1 - p)$ . Cela permet d'estimer des probabilités cumulées sans calculer une longue somme.

Prise de décision et intervalle de fluctuation

Sous une hypothèse sur $p$ , l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil $95%$ contient la fréquence observée $f$ avec une probabilité $\approx 0, 95$ : $I = [p - 1, 96 \frac{p ( 1 - p )}{n}; p + 1, 96 \frac{p ( 1 - p )}{n}]$ . Règle de décision : si $f \in I$ on accepte l'hypothèse, sinon on la rejette au seuil de $5%$ .

Estimation

L'estimation fait le chemin inverse : à partir d'une fréquence observée $f$ sur un échantillon de taille $n$ , on encadre la proportion inconnue $p$ par un intervalle de confiance au niveau $95%$ : $[f - \frac{1}{n}; f + \frac{1}{n}]$ .

✍️ Exemples résolus & démonstrations

Exemple 1 — Loi binomiale : espérance, variance et probabilités

Énoncé. Une chaîne de production fabrique des pièces dont $5%$ sont défectueuses. On prélève au hasard un échantillon de $20$ pièces (le stock est assez grand pour assimiler ce tirage à un tirage avec remise). On note $X$ le nombre de pièces défectueuses dans l'échantillon. 1) Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres. 2) Calculer l'espérance $E (X)$ et la variance $V (X)$ . 3) Calculer $P (X = 2)$ , puis $P (X \geq 1)$ .

Solution.

On répète $n = 20$ fois, de façon identique et indépendante, une épreuve à deux issues : « la pièce est défectueuse » (succès, probabilité $p = 0, 05$ ) ou non. Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 20$ et $p = 0, 05$ : on note $X \sim B (20; 0, 05)$ .
Espérance. Pour une loi binomiale, $E (X) = n p$ , donc $E (X) = 20 \times 0, 05 = 1.$ En moyenne, on attend $1$ pièce défectueuse par échantillon de $20$ .
Variance. On a $V (X) = n p (1 - p)$ , donc $V (X) = 20 \times 0, 05 \times 0, 95 = 0, 95.$ L'écart-type vaut $σ = 0, 95 \approx 0, 97$ .
Calcul de $P (X = 2)$ . La formule binomiale donne $P (X = 2) = (2 20) (0, 05)^{2} (0, 95)^{18} .$ Avec $(2 20) = \frac{20 \times 19}{2} = 190$ , on obtient $P (X = 2) = 190 \times 0, 0025 \times (0, 95)^{18} \approx 190 \times 0, 0025 \times 0, 3972 \approx 0, 1887.$ Soit environ $18, 9%$ .
Calcul de $P (X \geq 1)$ . On passe par l'événement contraire ${X = 0}$ : $P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0) = 1 - (0, 95)^{20} .$ Or $(0, 95)^{20} \approx 0, 3585$ , donc $P (X \geq 1) \approx 1 - 0, 3585 = 0, 6415,$ soit environ $64, 2%$ de chance d'avoir au moins une pièce défectueuse.
Vérification. L'espérance $E (X) = 1$ est cohérente : avec $p$ faible et $n$ modéré, avoir au moins une défectueuse (proba $\approx 0, 64$ ) est plausible. Numériquement $(0, 95)^{18} = (0, 95)^{20} / (0, 95)^{2} = 0, 3585/0, 9025 \approx 0, 3972$ , ce qui confirme le calcul de $P (X = 2)$ .

Exemple 2 — Loi normale : intervalles « un, deux, trois sigma »

Énoncé. La masse $X$ (en grammes) des pots de confiture remplis par une machine suit la loi normale d'espérance $μ = 250$ et d'écart-type $σ = 4$ . 1) Donner l'intervalle $[μ - σ; μ + σ]$ et la probabilité que $X$ y appartienne. 2) Donner l'intervalle $[μ - 2 σ; μ + 2 σ]$ et la probabilité associée. 3) Un pot est jugé conforme si sa masse est comprise entre $242 g$ et $258 g$ . Quelle est, approximativement, la proportion de pots conformes ?

Solution.

Intervalle à un écart-type. On calcule $[μ - σ; μ + σ] = [250 - 4; 250 + 4] = [246; 254] .$ Pour une loi normale, $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0, 68$ , soit environ $68%$ des pots.
Intervalle à deux écarts-types. $[μ - 2 σ; μ + 2 σ] = [250 - 8; 250 + 8] = [242; 258] .$ On sait que $P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0, 95$ , soit environ $95%$ .
Pots conformes. L'intervalle de conformité $[242; 258]$ est exactement $[μ - 2 σ; μ + 2 σ]$ . Donc la proportion de pots conformes est $P (242 \leq X \leq 258) \approx 0, 95,$ soit environ $95%$ des pots.
Interprétation. Environ $5%$ des pots sont non conformes (trop légers ou trop lourds), répartis de façon symétrique : environ $2, 5%$ en dessous de $242 g$ et $2, 5%$ au-dessus de $258 g$ , par symétrie de la courbe autour de $μ = 250$ .
Vérification. Les règles usuelles donnent $\approx 68%$ à $1 σ$ , $\approx 95%$ à $2 σ$ et $\approx 99, 7%$ à $3 σ$ . La centrale $μ = 250$ est bien le milieu de chaque intervalle, ce qui est cohérent avec la symétrie de la loi normale.

Exemple 3 — Intervalle de fluctuation et prise de décision

Énoncé. Dans une grande ville, on suppose que $52%$ des habitants sont des femmes ( $p = 0, 52$ ). Une association recrute $200$ adhérents et en compte $88$ femmes. On veut décider, au seuil de $95%$ , si ce recrutement est compatible avec un tirage au hasard dans la population. 1) Vérifier les conditions d'utilisation de l'intervalle de fluctuation et le déterminer. 2) Calculer la fréquence observée de femmes. 3) Conclure.

Solution.

Conditions. On a $n = 200$ , $p = 0, 52$ . On vérifie $n \geq 30$ , $n p = 200 \times 0, 52 = 104 \geq 5$ et $n (1 - p) = 200 \times 0, 48 = 96 \geq 5$ . Les trois conditions sont remplies.
Intervalle de fluctuation asymptotique au seuil $95%$ . Il est donné par $I = [p - 1, 96 \frac{p ( 1 - p )}{n}; p + 1, 96 \frac{p ( 1 - p )}{n}] .$
On calcule le terme d'incertitude : $p (1 - p) = 0, 52 \times 0, 48 = 0, 2496 \approx 0, 4996,$ puis $1, 96 \times \frac{0 , 4996}{200} = 1, 96 \times \frac{0 , 4996}{14 , 142} \approx 1, 96 \times 0, 03533 \approx 0, 0692.$
D'où l'intervalle $I = [0, 52 - 0, 0692; 0, 52 + 0, 0692] = [0, 4508; 0, 5892] .$
Fréquence observée. $f = \frac{88}{200} = 0, 44.$
Décision. La fréquence observée $f = 0, 44$ n'appartient pas à l'intervalle $I = [0, 4508; 0, 5892]$ car $0, 44 < 0, 4508$ . Au seuil de $95%$ , on rejette l'hypothèse d'un recrutement compatible avec un tirage au hasard : l'écart est statistiquement significatif. Le recrutement semble sous-représenter les femmes.
Vérification. L'amplitude de $I$ est $2 \times 0, 0692 \approx 0, 1384$ , centrée en $p = 0, 52$ . La borne inférieure $0, 4508$ est bien supérieure à $f = 0, 44$ , ce qui confirme que la valeur observée tombe (de peu) en dehors de la zone d'acceptation.

🔑 Formules clés à retenir

Espérance (discret) : $E (X) = i \sum x_{i} p_{i}$
Variance : $V (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2}$ et $σ (X) = V (X)$
Linéarité : $E (a X + b) = a E (X) + b$ ; $V (a X + b) = a^{2} V (X)$
Loi binomiale $B (n; p)$ : $P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$
Binomiale : $E (X) = n p$ et $V (X) = n p (1 - p)$
Loi uniforme sur $[a; b]$ : $f (x) = \frac{1}{b - a}$ , $P (c \leq X \leq d) = \frac{d - c}{b - a}$ , $E (X) = \frac{a + b}{2}$
Loi à densité : $P (a \leq X \leq b) = a \int b f (x) d x$ , $P (X = a) = 0$
Loi normale $N (μ; σ^{2})$ : paramètres $μ$ (centre) et $σ$ (écart-type)
$P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0, 68$
$P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0, 95$ ; $P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) \approx 0, 997$
Intervalle de fluctuation $95%$ : $[p - 1, 96 \frac{p ( 1 - p )}{n}; p + 1, 96 \frac{p ( 1 - p )}{n}]$
Intervalle de confiance $95%$ : $[f - \frac{1}{n}; f + \frac{1}{n}]$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

Ne pas confondre $n$ et $k$ dans $(k n)$ : $n$ est le nombre total d'épreuves, $k$ le nombre de succès visé.
La loi binomiale exige des épreuves indépendantes et $p$ constante : un tirage sans remise ne suit PAS une loi binomiale.
Attention : $E (X) = n p$ mais $V (X) = n p (1 - p)$ , pas $n p$ . L'écart-type est $σ = n p (1 - p)$ .
Pour une loi continue, $P (X = a) = 0$ : donc $P (X \leq a) = P (X < a)$ . Ne perdez pas de points en croyant que les bornes changent le résultat.
Bien distinguer $σ$ (écart-type) et $σ^{2}$ (variance) : la notation $N (μ; σ^{2})$ contient la variance, mais la calculatrice demande l'écart-type $σ$ .
Ne pas confondre intervalle de fluctuation (on connaît $p$ , on prévoit $f$ ) et intervalle de confiance (on observe $f$ , on estime $p$ ).
Le coefficient $1, 96$ correspond au seuil $95%$ ; ne pas le remplacer par $2$ sauf si l'énoncé l'autorise.
Vérifier les conditions $n \geq 30$ , $n p \geq 5$ , $n (1 - p) \geq 5$ avant d'utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique.
Pour $P (X \geq k)$ avec une binomiale, penser à l'événement contraire : $P (X \geq k) = 1 - P (X \leq k - 1)$ .

Probabilités et statistiques — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Lumaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

47 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 47 corrigés

Exercices Faciles

16 exercices

Loi binomiale : réponses au hasard à un QCM

Facile

Énoncé

Un QCM est composé de $n = 10$ questions indépendantes. Pour chaque question, $4$ réponses sont proposées et une seule est correcte. Un élève répond entièrement au hasard à chaque question. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de bonnes réponses.

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2. Calculer la probabilité que l'élève ne donne aucune bonne réponse. Arrondir à $1 0^{- 3}$ .

3. Calculer la probabilité que l'élève donne exactement $3$ bonnes réponses. Arrondir à $1 0^{- 3}$ .

4. Calculer l'espérance $E (X)$ et la variance $V (X)$ , puis interpréter l'espérance dans le contexte.

Ma réponse

Probabilités et statistiques

Probabilités et statistiques — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

Variable aléatoire

Loi de probabilité

Espérance et variance

Loi binomiale

Loi uniforme (continue)

Loi à densité

Loi normale

Intervalles 1σ, 2σ, 3σ

Approximation d'une loi binomiale

Prise de décision et intervalle de fluctuation

Estimation

✍️ Exemples résolus & démonstrations

Exemple 1 — Loi binomiale : espérance, variance et probabilités

Exemple 2 — Loi normale : intervalles « un, deux, trois sigma »

Exemple 3 — Intervalle de fluctuation et prise de décision

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

Probabilités et statistiques — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Loi binomiale : réponses au hasard à un QCM

Loi binomiale : contrôle qualité d'une chaîne de production

Loi binomiale : pièces défectueuses dans un lot

Calcul de probabilités avec la loi normale — tailles d'étudiants

Densité de probabilité — Vérification et calcul simple

Espérance d'une variable continue — Durée de vie

Intervalle de confiance pour une proportion — Sondage scolaire

Intervalle de confiance — proportion de produits défectueux

Intervalle de fluctuation — sondage électoral

Lecture de table de la loi normale centrée réduite

Loi binomiale — Calcul direct de probabilités

Loi binomiale — Espérance et paramètres

Loi normale — Lecture de table et probabilité simple

Loi normale — Symétrie et propriétés

Propriété des 3 sigma — poids de nouveau-nés

Test d'hypothèse — Pièce truquée

Exercices Intermédiaires

Loi uniforme continue : heure d'arrivée à un rendez-vous

Loi uniforme continue : temps d'attente à l'arrêt de tramway

Loi uniforme continue : temps d'attente à un arrêt de bus

Centrage-réduction et calcul de quantile

Densité — Détermination de paramètre et espérance

Détermination des paramètres d'une loi normale

Intervalle de confiance — comparaison de deux estimations

Intervalle de confiance — Taille d'échantillon nécessaire

Intervalle de fluctuation — taille minimale d'échantillon

Loi binomiale — Probabilité cumulée $P(X \leq k)$

Loi binomiale — Recherche de paramètre $n$

Loi normale — Calcul de probabilité et quantile

Test d'hypothèse bilatéral — Taux de germination

Test unilatéral — Efficacité d'un traitement

Variable continue — Loi uniforme et médiane

Exercices Difficiles

Loi normale et intervalle de fluctuation : une pièce est-elle truquée ?

Loi normale et intervalle de fluctuation : prise de décision sur un sondage

Loi normale et intervalle de fluctuation : remplissage et sondage électoral

Construction complète d'une densité par morceaux

Espérance et variance d'une loi normale — modélisation économique

Loi binomiale et normale — Étude complète d'un problème de contrôle qualité

Loi binomiale — Preuve de la formule de l'espérance

Loi normale — Approximation d'une loi binomiale

Loi normale — Détermination de $\mu$ et $\sigma$

Loi normale et densité — vérification de propriétés

Loi normale — Intervalle de fluctuation et prise de décision

Modélisation par une loi normale — contrôle de fabrication

Proportion et test — Comparaison de deux périodes

Test d'adéquation et puissance — Vaccin

Test d'hypothèse basé sur l'intervalle de fluctuation

Variable continue — Modélisation et fonction de répartition

Exercices supplémentaires

—

Quiz — Probabilités et statistiques

Continue ton chapitre là où tu l'as laissé