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Loi binomiale et normale — Étude complète d'un problème de contrôle qualité

Difficile Inspiré BAC France
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Exercice inspiré d'un BAC France
Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

Câbles électriques : défectueux. Lots de .

  1. et .
  2. Justifier approximation normale. Préciser la loi.
  3. via normale. .
  4. Avec , la probabilité de refus est-elle ? .

Indices

— clique pour révéler
1 Indice 1
Pour la question 1, utilise les formules de l'espérance et de la variance d'une loi binomiale $B(n,p)$ : $E(X)=np$ et $V(X)=np(1-p)$.
2 Indice 2
Pour la question 2, l'approximation normale est justifiée quand $n$ est grand, $p$ petit et $np$ modéré ; la loi normale approchante a pour paramètres l'espérance et la variance trouvées en question 1.
3 Indice 3
Pour les questions 3 et 4, centre et réduis la variable ($Z = \\frac{X-E(X)}{\\sigma(X)}$) pour te ramener à la fonction de répartition $\\Phi$ de la loi normale centrée réduite, puis utilise les valeurs de $\\Phi$ fournies.

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