Soit X ∼ B ( n , p ) . Démontrer que E ( X ) = n p . Rappeler la définition de E ( X ) . Montrer que k ( k n ) = n ( k − 1 n − 1 ) . En déduire E ( X ) = n p k = 1 ∑ n ( k − 1 n − 1 ) p k − 1 ( 1 − p ) n − k . Conclure.

Loi binomiale — Preuve de la formule de l'espérance

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Soit $X \sim B (n, p)$ . Démontrer que $E (X) = n p$ .

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1 Indice 1

Écris la définition de l'espérance comme une somme pondérée $\sum_{k=0}^{n} k \, P(X=k)$ avec la loi binomiale.

2 Indice 2

Pour montrer $k\binom{n}{k} = n\binom{n-1}{k-1}$, écris les coefficients binomiaux avec des factorielles et simplifie.

3 Indice 3

Après factorisation par $np$, reconnais dans la somme restante le développement du binôme de Newton de $(p+(1-p))^{n-1}$.

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