Loi normale et intervalle de fluctuation : remplissage et sondage électoral

Partie A — Loi normale.

Une machine remplit des sachets de sucre. La masse (en grammes) d'un sachet est modélisée par une variable aléatoire $M$ suivant la loi normale d'espérance $\mu =250$ et d'écart-type $\sigma =20$.

1. En utilisant les valeurs remarquables de la loi normale, donner $P(230\le M\le 270)$ et $P(210\le M\le 290)$.

2. Un sachet est jugé conforme si sa masse est comprise entre $230$ g et $270$ g. À l'aide de la question précédente, donner la probabilité qu'un sachet ne soit pas conforme. Arrondir à $10^{-3}$.

Partie B — Intervalle de fluctuation et décision.

Lors d'une élection, un candidat affirme qu'exactement la moitié des électeurs, soit une proportion $p=0,5$, ont l'intention de voter pour lui. Pour le vérifier, on interroge $n=400$ électeurs choisis au hasard et $220$ d'entre eux déclarent vouloir voter pour ce candidat. On note $F$ la fréquence observée.

3. Vérifier que les conditions $n\ge 30$, $np\ge 5$ et $n(1-p)\ge 5$ sont satisfaites.

4. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la fréquence $F$. Arrondir les bornes à $10^{-3}$.

5. Au seuil de risque de $5\%$, peut-on rejeter l'affirmation du candidat ? Justifier la décision.