Loi uniforme continue : temps d'attente à un arrêt de bus

Un bus passe à un arrêt toutes les $20$ minutes. Un voyageur arrive à l'arrêt à un instant quelconque, sans connaître les horaires. On note $X$ son temps d'attente (en minutes) jusqu'au prochain bus. On modélise $X$ par une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle $[0;20]$.

1. Donner l'expression de la fonction de densité $f$ de $X$ sur $[0;20]$.

2. Calculer la probabilité que le voyageur attende moins de $8$ minutes.

3. Calculer la probabilité que le temps d'attente soit compris entre $5$ et $12$ minutes.

4. Déterminer le temps d'attente moyen $E(X)$.

5. Sachant que le voyageur a déjà attendu $10$ minutes, quelle est la probabilité qu'il attende encore moins de $5$ minutes, c'est-à-dire $P_{(X>10)}(X<15)$ ?