Loi normale et intervalle de fluctuation : prise de décision sur un sondage

Partie A — Loi normale.

La masse (en grammes) des paquets de café produits par une machine est modélisée par une variable aléatoire $M$ suivant la loi normale d'espérance $\mu =250$ et d'écart-type $\sigma =3$.

1. En utilisant les valeurs remarquables de la loi normale, donner $P(247\le M\le 253)$ et $P(244\le M\le 256)$.

2. Un paquet est jugé conforme si sa masse est comprise entre $244$ g et $256$ g. À l'aide de la question précédente, donner la probabilité qu'un paquet soit non conforme.

Partie B — Intervalle de fluctuation et décision.

Le fabricant affirme que la proportion de paquets non conformes est $p=0,05$. Un organisme de contrôle prélève un échantillon de $n=400$ paquets et en trouve $30$ non conformes. On note $F$ la fréquence observée de paquets non conformes.

3. Vérifier que les conditions $n\ge 30$, $np\ge 5$ et $n(1-p)\ge 5$ sont satisfaites.

4. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la fréquence $F$. Arrondir les bornes à $10^{-3}$.

5. L'organisme doit-il rejeter l'affirmation du fabricant ? Justifier la décision.