Loi binomiale : contrôle qualité d'une chaîne de production

Une usine fabrique des ampoules LED. On sait que, de façon indépendante, une ampoule prise au hasard est défectueuse avec une probabilité $p=0,05$.

Pour effectuer un contrôle qualité, on prélève au hasard un échantillon de $n=20$ ampoules. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre d'ampoules défectueuses dans cet échantillon.

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2. Calculer la probabilité qu'aucune ampoule ne soit défectueuse. Arrondir à $10^{-3}$.

3. Calculer la probabilité qu'il y ait exactement une ampoule défectueuse. Arrondir à $10^{-3}$.

4. En déduire la probabilité qu'il y ait au moins deux ampoules défectueuses dans l'échantillon.

5. Calculer l'espérance $E(X)$ et la variance $V(X)$, puis interpréter l'espérance dans le contexte.