Loi normale et intervalle de fluctuation : une pièce est-elle truquée ?

Partie A — Loi normale.

La durée de vie (en heures) d'un composant électronique est modélisée par une variable aléatoire $D$ suivant la loi normale d'espérance $\mu =1000$ et d'écart-type $\sigma =50$.

1. En utilisant les valeurs remarquables de la loi normale, donner $P(950\le D\le 1050)$ et $P(900\le D\le 1100)$.

2. Un composant est jugé fiable si sa durée de vie est comprise entre $900$ h et $1100$ h. À l'aide de la question précédente, donner la probabilité qu'un composant ne soit pas fiable.

Partie B — Intervalle de fluctuation et décision.

On souhaite tester si une pièce de monnaie est équilibrée, c'est-à-dire si la probabilité d'obtenir « pile » est $p=0,5$. On lance la pièce $n=200$ fois et on obtient $118$ fois « pile ». On note $F$ la fréquence observée de « pile ».

3. Vérifier que les conditions $n\ge 30$, $np\ge 5$ et $n(1-p)\ge 5$ sont satisfaites.

4. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la fréquence $F$. Arrondir les bornes à $10^{-3}$.

5. Peut-on, au seuil de risque de $5\%$, considérer que la pièce est truquée ? Justifier la décision.