Loi binomiale : réponses au hasard à un QCM

Un QCM est composé de $n=10$ questions indépendantes. Pour chaque question, $4$ réponses sont proposées et une seule est correcte. Un élève répond entièrement au hasard à chaque question. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de bonnes réponses.

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2. Calculer la probabilité que l'élève ne donne aucune bonne réponse. Arrondir à $10^{-3}$.

3. Calculer la probabilité que l'élève donne exactement $3$ bonnes réponses. Arrondir à $10^{-3}$.

4. Calculer l'espérance $E(X)$ et la variance $V(X)$, puis interpréter l'espérance dans le contexte.