Pharmacocinétique avancée — aire sous la courbe et dose efficace

La concentration plasmatique d'un antibiotique est modélisée par :

$$C(t)=A\left(e^{-\alpha t}-e^{-\beta t}\right),t\ge 0$$

avec $A=10$ mg/L, $\alpha =0,1$ h${}^{-1}$, $\beta =0,5$ h${}^{-1}$.

1. Montrer que $C(0)=0$ et déterminer $\underset{t\to +\infty }{\lim }C(t)$.
2. Trouver le temps $t_{\max }$ où $C$ atteint son maximum, et calculer $C(t_{\max })$.
3. L'aire sous la courbe (AUC) est définie par $\text{AUC}=\underset{0}{\overset{+\infty }{\int }}C(t)\mathrm{d}t$. Calculer cette intégrale impropre.
4. On dit que le médicament est efficace si $C(t)\ge 3$ mg/L. Déterminer la durée pendant laquelle le médicament est efficace (donner une valeur approchée à 0,1 h).