Lorsqu'un rayonnement traverse un matériau, son intensité (en watts par mètre carré) après une épaisseur $x$ (en centimètres) est modélisée par :

$$I(x)=I_0{e}^{-\mu x},x\ge 0,$$

où $I_0>0$ est l'intensité incidente et $\mu >0$ un coefficient d'atténuation propre au matériau.

1. On appelle demi-épaisseur $d$ l'épaisseur de matériau qui divise l'intensité par deux. Montrer que $d$ ne dépend pas de $I_0$ et vérifie $d=\frac{\ln (2)}{\mu }$.

2. Pour un certain plomb, la demi-épaisseur vaut $d=0,88\text{cm}$. En déduire la valeur de $\mu$ (arrondir à $10^{-3}$).

3. Montrer que, pour tout $x\ge 0$, on peut écrire $I(x)=I_0\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^{x/d}$.

4. Pour une protection efficace, on veut que l'intensité transmise ne dépasse pas $1\%$ de l'intensité incidente. Déterminer l'épaisseur minimale de plomb nécessaire (arrondir au dixième de centimètre).

Partie A — Échelle de Richter.

La magnitude $M$ d'un séisme sur l'échelle de Richter est reliée à l'énergie $E$ libérée (en joules) par la relation :

$$M=\frac{2}{3}{\log }_{10}\left(\frac{E}{E_0}\right),\text{avec }{E}_0=10^{4,4}\text{J},$$

où ${\log }_{10}$ désigne le logarithme décimal.

1. Un séisme A a une magnitude $M_A=6$ et un séisme B une magnitude $M_B=4$. Exprimer le rapport $\frac{E_A}{E_B}$ sous la forme d'une puissance de $10$, puis donner une valeur approchée de ce rapport.

Partie B — Croissance d'un placement.

Un capital placé à intérêts composés est modélisé par $V(t)=2000\times 1,035^t$, où $V(t)$ est la valeur acquise (en euros) au bout de $t$ années.

2. Montrer que le temps de doublement $T$ du capital (durée au bout de laquelle la valeur double) ne dépend pas du capital initial, et l'exprimer à l'aide du logarithme.

3. Calculer ce temps de doublement (arrondir au centième d'année), puis déterminer au bout de combien d'années entières le capital aura au moins triplé.

On considère les fonctions $f(x)=e^x$ et $g(x)=x^{100}$, définies pour $x>0$.

1. En utilisant la règle de l'Hôpital ou les croissances comparées, montrer que $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^{100}}{e^x}=0$.
2. On pose $h(x)=e^x-x^{100}$. Montrer que $h(x)\to +\infty$ quand $x\to +\infty$.
3. Déterminer le signe de $h$ pour $x$ suffisamment grand. Interpréter graphiquement.
4. Soit $n\in \mathbb{N}$. Montrer par récurrence que $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^n}{e^x}=0$ (on admettra que $\frac{d}{dx}\left(\frac{x^n}{e^x}\right)=\frac{x^{n-1}(n-x)}{e^x}$).

On modélise la population d'une ville (en milliers d'habitants) par :

avec $L=200$, $A=9$, $k=0,3$ et $t$ en années depuis 2000.

1. Calculer $P(0)$ et interpréter.
2. Déterminer $\underset{t\to +\infty }{\lim }P(t)$. Interpréter.
3. Calculer $P^{\prime }(t)$ et montrer qu'il est toujours positif.
4. Montrer que $P^{\prime }(t)=\frac{k}{L}P(t)(L-P(t))$.
5. En déduire l'instant $t^{\ast }$ où la croissance est maximale et montrer que $P(t^{\ast })=\frac{L}{2}$.

Calculer les intégrales suivantes (on précisera la méthode utilisée) :

1. $$I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{e^x}{1+e^x}\mathrm{d}x$$
2. $$J=\underset{1}{\overset{e^2}{\int }}\frac{(\ln x{)}^2}{x}\mathrm{d}x$$
3. $$K=\underset{0}{\overset{\ln 2}{\int }}x{e}^{-x}\mathrm{d}x$$

Selon la loi de Newton, la température $T(t)$ (en °C) d'un objet qui refroidit dans un milieu à température $T_{\text{amb}}=20°C$ vérifie :

où $T_0$ est la température initiale et $k>0$ est une constante.

Un objet à $T_0=80°C$ est placé dans la pièce. Après 10 minutes, sa température est de $60°C$.

1. Utiliser la condition $T(10)=60$ pour déterminer $k$ (laisser la réponse sous forme exacte).
2. Exprimer $T(t)$ complètement.
3. Au bout de combien de minutes la température atteindra-t-elle $30°C$ ? (Valeur exacte puis approchée à 0,1 min)
4. Montrer que $T(t)>20$ pour tout $t\ge 0$, et interpréter physiquement.
5. Calculer $T^{\prime }(t)$, montrer qu'il est négatif et interpréter.

Dans un modèle bicompartimental, la concentration sanguine (en mg/L) d'un antibiotique est :

avec $A=20$, $\alpha =0,2$ h${}^{-1}$ et $\beta =1,5$ h${}^{-1}$.

1. Montrer que $C(0)=0$ et que $\underset{t\to +\infty }{\lim }C(t)=0$.
2. Calculer $C^{\prime }(t)$. Montrer que le maximum est atteint en $$t^{\ast }=\frac{\ln (\beta /\alpha )}{\beta -\alpha }$$
3. Calculer numériquement $t^{\ast }$ et $C(t^{\ast })$ (valeurs approchées au centième).
4. On dit que le médicament est efficace si $C(t)\ge 5$ mg/L. En utilisant une calculatrice ou les valeurs numériques, estimer la durée pendant laquelle le médicament est efficace (réponse graphique ou numérique acceptée).

La concentration plasmatique d'un antibiotique est modélisée par :

$$C(t)=A\left(e^{-\alpha t}-e^{-\beta t}\right),t\ge 0$$

avec $A=10$ mg/L, $\alpha =0,1$ h${}^{-1}$, $\beta =0,5$ h${}^{-1}$.

1. Montrer que $C(0)=0$ et déterminer $\underset{t\to +\infty }{\lim }C(t)$.
2. Trouver le temps $t_{\max }$ où $C$ atteint son maximum, et calculer $C(t_{\max })$.
3. L'aire sous la courbe (AUC) est définie par $\text{AUC}=\underset{0}{\overset{+\infty }{\int }}C(t)\mathrm{d}t$. Calculer cette intégrale impropre.
4. On dit que le médicament est efficace si $C(t)\ge 3$ mg/L. Déterminer la durée pendant laquelle le médicament est efficace (donner une valeur approchée à 0,1 h).

Un échantillon contient initialement $N_0$ noyaux d'un isotope radioactif. Le nombre de noyaux non encore désintégrés au bout d'un temps $t$ (en années) est donné par :

$$N(t)=N_0{e}^{-\lambda t},t\ge 0,$$

où $\lambda >0$ est une constante caractéristique de l'isotope.

1. La demi-vie $\tau$ est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux se sont désintégrés. Montrer que $\tau$ ne dépend pas de $N_0$ et vérifie $\tau =\frac{\ln (2)}{\lambda }$.

2. Le carbone 14 a une demi-vie d'environ $\tau =5730$ ans. En déduire la valeur de $\lambda$ (arrondir à $10^{-5}$).

3. Montrer que, pour tout $t\ge 0$, on peut écrire $N(t)=N_0\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/\tau }$.

4. Lors d'une datation, on mesure dans un fragment d'os qu'il ne reste que $30\%$ du carbone 14 initial. Déterminer l'âge de l'os (arrondir à la centaine d'années).

Un échantillon contient à $t=0$ deux isotopes radioactifs A et B :

• Isotope A : quantité initiale $N_A=100$ unités, constante de désintégration ${\lambda }_A=\ln 2/10$ (demi-vie 10 ans).
• Isotope B : quantité initiale $N_B=200$ unités, constante de désintégration ${\lambda }_B=\ln 2/30$ (demi-vie 30 ans).

La quantité totale est $Q(t)=100e^{-{\lambda }_{A}t}+200e^{-{\lambda }_{B}t}$.

1. Calculer $Q(0)$, $Q(30)$ et $\underset{t\to +\infty }{\lim }Q(t)$.
2. Montrer que $Q$ est strictement décroissante sur $[0,+\infty [$.
3. Déterminer, en résolvant une équation, l'instant $t^{\ast }$ où $Q(t^{\ast })=150$ (on se ramènera à une équation du second degré en posant $u=e^{-{\lambda }_{A}t/3}$... ou toute autre substitution adaptée). Donner une valeur approchée à l'unité.