Optimisation — dose maximale absorbée en pharmacologie

Dans un modèle bicompartimental, la concentration sanguine (en mg/L) d'un antibiotique est :

avec $A=20$, $\alpha =0,2$ h${}^{-1}$ et $\beta =1,5$ h${}^{-1}$.

1. Montrer que $C(0)=0$ et que $\underset{t\to +\infty }{\lim }C(t)=0$.
2. Calculer $C^{\prime }(t)$. Montrer que le maximum est atteint en $$t^{\ast }=\frac{\ln (\beta /\alpha )}{\beta -\alpha }$$
3. Calculer numériquement $t^{\ast }$ et $C(t^{\ast })$ (valeurs approchées au centième).
4. On dit que le médicament est efficace si $C(t)\ge 5$ mg/L. En utilisant une calculatrice ou les valeurs numériques, estimer la durée pendant laquelle le médicament est efficace (réponse graphique ou numérique acceptée).