Selon la loi de Newton, la température T ( t ) (en °C) d'un objet qui refroidit dans un milieu à température T amb = 20 ° C vérifie : T ( t ) = 20 + ( T 0 − 20 ) e − k t où T 0 est la température initiale et k > 0 est une constante. Un objet à T 0 = 80 ° C est placé dans la pièce. Après 10 minutes, sa température est de 60 ° C . Utiliser la condition T ( 10 ) = 60 pour déterminer k (laisser la réponse sous forme exacte). Exprimer T ( t ) complètement. Au bout de combien de minutes la température atteindra-t-elle 30 ° C ? (Valeur exacte puis approchée à 0,1 min) Montrer que T ( t ) > 20 pour tout t ≥ 0 , et interpréter physiquement. Calculer T ′ ( t ) , montrer qu'il est négatif et interpréter.

Modèle de Newton — refroidissement d'un corps

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

Selon la loi de Newton, la température $T (t)$ (en °C) d'un objet qui refroidit dans un milieu à température $T_{amb} = 20 ° C$ vérifie :

T (t) = 20 + (T_{0} - 20) e^{- k t}

où $T_{0}$ est la température initiale et $k > 0$ est une constante.

Un objet à $T_{0} = 80 ° C$ est placé dans la pièce. Après 10 minutes, sa température est de $60 ° C$ .

Utiliser la condition $T (10) = 60$ pour déterminer $k$ (laisser la réponse sous forme exacte).
Exprimer $T (t)$ complètement.
Au bout de combien de minutes la température atteindra-t-elle $30 ° C$ ? (Valeur exacte puis approchée à 0,1 min)
Montrer que $T (t) > 20$ pour tout $t \geq 0$ , et interpréter physiquement.
Calculer $T^{'} (t)$ , montrer qu'il est négatif et interpréter.

Indices

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1 Indice 1

Remplace $T_0$, $T_{\\text{amb}}$ et $t=10$ dans la formule, puis isole le terme exponentiel $e^{-kt}$ pour trouver sa valeur numerique.

2 Indice 2

Applique le logarithme neperien aux deux membres de l'egalite obtenue pour isoler $k$.

3 Indice 3

Pour la question sur les 30 degres, refais la meme demarche qu'a la question 1 mais avec la temperature cible 30, puis exprime $t$ en fonction de $k$. Pour les questions de signe (T(t)>20 et T'(t)<0), etudie le signe de chaque facteur de l'expression obtenue.

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