On considère la fonction f ( x ) = x ln x définie sur ] 0 , + ∞ [ . Montrer que x → 0 + lim x ln x = 0 en effectuant le changement de variable x = e − t avec t → + ∞ . On prolonge f par continuité en posant f ( 0 ) = 0 . Calculer l'aire du domaine compris entre la courbe de f et l'axe des abscisses sur [ 0 , 1 ] (en valeur absolue).

Limite de $x\ln x$ en $0^+$ et aire sous la courbe

Intermédiaire Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

On considère la fonction $f (x) = x ln x$ définie sur $] 0, + \infty [$ .

Montrer que $x \to 0^{+} lim x ln x = 0$ en effectuant le changement de variable $x = e^{- t}$ avec $t \to + \infty$ .
On prolonge $f$ par continuité en posant $f (0) = 0$ . Calculer l'aire du domaine compris entre la courbe de $f$ et l'axe des abscisses sur $[0, 1]$ (en valeur absolue).

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