On admet que x → + ∞ lim x e x = + ∞ . Montrer par récurrence que x → + ∞ lim x n e x = + ∞ pour tout entier n ≥ 1 . En déduire x → − ∞ lim x 3 e x . Calculer x → + ∞ lim x 2 + 1 e 2 x − e x .

Limite de $\frac{e^x}{x^n}$ et croissances comparées

Intermédiaire Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

On admet que $x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x} = + \infty$ .

Montrer par récurrence que $x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x ^{n}} = + \infty$ pour tout entier $n \geq 1$ .
En déduire $x \to - \infty lim x^{3} e^{x}$ .
Calculer $x \to + \infty lim \frac{e ^{2 x} - e ^{x}}{x ^{2} + 1}$ .

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