Soit g ( x ) = e x − x − 1 . Calculer g ′ ( x ) et g ′′ ( x ) . Montrer que g admet un minimum global en x = 0 , et que ce minimum vaut 0 . En déduire que pour tout réel x : e x ≥ 1 + x . En appliquant l'inégalité précédente à x = n 1 (où n ∈ N ∗ ), montrer que e 1/ n ≥ 1 + n 1 , puis que ( 1 + n 1 ) n ≤ e .

Étude d'une fonction avec paramètre — inégalité

Intermédiaire Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Soit $g (x) = e^{x} - x - 1$ .

Calculer $g^{'} (x)$ et $g^{''} (x)$ .
Montrer que $g$ admet un minimum global en $x = 0$ , et que ce minimum vaut $0$ .
En déduire que pour tout réel $x$ : $e^{x} \geq 1 + x$ .
En appliquant l'inégalité précédente à $x = \frac{1}{n}$ (où $n \in N^{*}$ ), montrer que $e^{1/ n} \geq 1 + \frac{1}{n}$ , puis que $(1 + \frac{1}{n})^{n} \leq e$ .

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