Soit f ( x ) = x e − x définie sur R . Calculer f ′ ( x ) et dresser le tableau de variations de f . Déterminer les limites de f en − ∞ et en + ∞ . Pour la limite en + ∞ , justifier que x → + ∞ lim x e − x = 0 (croissances comparées). En déduire les asymptotes éventuelles. Calculer f ( 0 ) , f ( 1 ) , f ( − 1 ) et placer ces points sur un repère, puis esquisser la courbe.

Étude complète de $f(x) = xe^{-x}$

Intermédiaire Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Soit $f (x) = x e^{- x}$ définie sur $R$ .

Calculer $f^{'} (x)$ et dresser le tableau de variations de $f$ .
Déterminer les limites de $f$ en $- \infty$ et en $+ \infty$ . Pour la limite en $+ \infty$ , justifier que $x \to + \infty lim x e^{- x} = 0$ (croissances comparées).
En déduire les asymptotes éventuelles.
Calculer $f (0)$ , $f (1)$ , $f (- 1)$ et placer ces points sur un repère, puis esquisser la courbe.

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