Croissance logistique — modèle de population

On modélise la population d'une ville (en milliers d'habitants) par :

avec $L=200$, $A=9$, $k=0,3$ et $t$ en années depuis 2000.

1. Calculer $P(0)$ et interpréter.
2. Déterminer $\underset{t\to +\infty }{\lim }P(t)$. Interpréter.
3. Calculer $P^{\prime }(t)$ et montrer qu'il est toujours positif.
4. Montrer que $P^{\prime }(t)=\frac{k}{L}P(t)(L-P(t))$.
5. En déduire l'instant $t^{\ast }$ où la croissance est maximale et montrer que $P(t^{\ast })=\frac{L}{2}$.