Comparaison des croissances — limite de $\frac{\ln x}{\sqrt{x}}$

On rappelle que $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x}=0$.

1. En déduire que $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{\sqrt{x}}=0$ (on posera $x=t^2$).
2. Montrer que pour tout $\alpha >0$, $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x^{\alpha }}=0$.
3. Application : déterminer $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\ln x-\sqrt{x}\right)$.