Comparaison de fonctions exponentielles — étude asymptotique

On considère les fonctions $f(x)=e^x$ et $g(x)=x^{100}$, définies pour $x>0$.

1. En utilisant la règle de l'Hôpital ou les croissances comparées, montrer que $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^{100}}{e^x}=0$.
2. On pose $h(x)=e^x-x^{100}$. Montrer que $h(x)\to +\infty$ quand $x\to +\infty$.
3. Déterminer le signe de $h$ pour $x$ suffisamment grand. Interpréter graphiquement.
4. Soit $n\in \mathbb{N}$. Montrer par récurrence que $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^n}{e^x}=0$ (on admettra que $\frac{d}{dx}\left(\frac{x^n}{e^x}\right)=\frac{x^{n-1}(n-x)}{e^x}$).