Échelle de Richter, modèle de croissance et temps de doublement

Partie A — Échelle de Richter.

La magnitude $M$ d'un séisme sur l'échelle de Richter est reliée à l'énergie $E$ libérée (en joules) par la relation :

$$M=\frac{2}{3}{\log }_{10}\left(\frac{E}{E_0}\right),\text{avec }{E}_0=10^{4,4}\text{J},$$

où ${\log }_{10}$ désigne le logarithme décimal.

1. Un séisme A a une magnitude $M_A=6$ et un séisme B une magnitude $M_B=4$. Exprimer le rapport $\frac{E_A}{E_B}$ sous la forme d'une puissance de $10$, puis donner une valeur approchée de ce rapport.

Partie B — Croissance d'un placement.

Un capital placé à intérêts composés est modélisé par $V(t)=2000\times 1,035^t$, où $V(t)$ est la valeur acquise (en euros) au bout de $t$ années.

2. Montrer que le temps de doublement $T$ du capital (durée au bout de laquelle la valeur double) ne dépend pas du capital initial, et l'exprimer à l'aide du logarithme.

3. Calculer ce temps de doublement (arrondir au centième d'année), puis déterminer au bout de combien d'années entières le capital aura au moins triplé.