Datation au carbone 14 et équation a^x=b

Le carbone 14 est un atome radioactif présent en faible proportion dans tout organisme vivant. À la mort de l'organisme, la proportion de carbone 14 décroît au fil du temps. Si l'on note $P(t)$ la proportion de carbone 14 restante (par rapport à celle d'un organisme vivant) après $t$ années, on admet le modèle :

$$P(t)={\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/5730},t\ge 0.$$

Le nombre $5730$ est la demi-vie du carbone 14, exprimée en années.

1. Justifier que $P(5730)=\frac{1}{2}$ et interpréter ce résultat.

2. Montrer que, pour tout $t\ge 0$, on a $P(t)=e^{-\lambda t}$ avec $\lambda =\frac{\ln (2)}{5730}$. Donner une valeur approchée de $\lambda$ à $10^{-5}$ près.

3. Lors d'une fouille archéologique, un fragment d'os ne contient plus que $28\%$ du carbone 14 d'un organisme vivant. En résolvant l'équation correspondante à l'aide du logarithme, estimer l'âge de cet os (arrondir à la centaine d'années).