Refroidissement d'un café et résolution par le logarithme

Une tasse de café est servie à $90{}^{\circ }\text{C}$ dans une pièce maintenue à $20{}^{\circ }\text{C}$. On admet que la température (en degrés Celsius) du café au bout de $t$ minutes est modélisée par :

$$T(t)=20+70e^{-0,05t},t\ge 0.$$

1. Vérifier que la température initiale est bien $90{}^{\circ }\text{C}$, puis calculer la température après $10$ minutes (arrondir au dixième de degré).

2. Vers quelle température le café tend-il lorsque $t$ devient très grand ? Interpréter concrètement.

3. On souhaite boire le café lorsqu'il atteint exactement $55{}^{\circ }\text{C}$. Déterminer, à l'aide du logarithme népérien, l'instant $t$ correspondant (arrondir à la minute).