Atténuation d'un signal, demi-épaisseur et seuil par le logarithme

Lorsqu'un rayonnement traverse un matériau, son intensité (en watts par mètre carré) après une épaisseur $x$ (en centimètres) est modélisée par :

$$I(x)=I_0{e}^{-\mu x},x\ge 0,$$

où $I_0>0$ est l'intensité incidente et $\mu >0$ un coefficient d'atténuation propre au matériau.

1. On appelle demi-épaisseur $d$ l'épaisseur de matériau qui divise l'intensité par deux. Montrer que $d$ ne dépend pas de $I_0$ et vérifie $d=\frac{\ln (2)}{\mu }$.

2. Pour un certain plomb, la demi-épaisseur vaut $d=0,88\text{cm}$. En déduire la valeur de $\mu$ (arrondir à $10^{-3}$).

3. Montrer que, pour tout $x\ge 0$, on peut écrire $I(x)=I_0\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^{x/d}$.

4. Pour une protection efficace, on veut que l'intensité transmise ne dépasse pas $1\%$ de l'intensité incidente. Déterminer l'épaisseur minimale de plomb nécessaire (arrondir au dixième de centimètre).