Soit n ≥ 1 un entier. On définit la suite : I n = 0 ∫ 1 x n e x d x 1. Montrer que I n = e − n ⋅ I n − 1 . 2. Sachant que I 0 = e − 1 , calculer I 1 , I 2 et I 3 . 3. Vérifier I 2 par un calcul direct.

Double intégration par parties — Démonstration d'une formule

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

Soit $n \geq 1$ un entier. On définit la suite : $I_{n} = 0 \int 1 x^{n} e^{x} d x$

1. Montrer que $I_{n} = e - n \cdot I_{n - 1}$ .

2. Sachant que $I_{0} = e - 1$ , calculer $I_{1}$ , $I_{2}$ et $I_{3}$ .

3. Vérifier $I_{2}$ par un calcul direct.

Indices

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1 Indice 1

Pour la question 1, utilise une integration par parties en derivant $x^n$ et en integrant $e^x$, ce qui fait apparaitre un terme evalue aux bornes et une nouvelle integrale faisant intervenir $x^{n-1}$.

2 Indice 2

Pour la question 2, applique la relation de recurrence obtenue successivement pour $n=1$, $n=2$ puis $n=3$, en reutilisant a chaque fois le resultat precedent.

3 Indice 3

Pour la question 3, calcule $I_2$ directement par une double integration par parties (ou en reappliquant deux fois la methode de la question 1) et compare avec la valeur trouvee a la question 2.

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