Calcul intégral — Résumé de cours

1ère Année Collège — Lumaths.ma

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Contenu du cours

1. Primitive et intégrale

Une primitive d'une fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ est une fonction $F$ dérivable telle que $F^{'} = f$ sur $I$ . Deux primitives diffèrent d'une constante. L'intégrale de $a$ à $b$ , notée $a \int b f (x) d x$ , mesure une accumulation de la quantité $f$ entre $a$ et $b$ .

Exemple : $F (x) = \frac{x ^{2}}{2}$ est une primitive de $f (x) = x$ .

2. Intégrale d'une fonction continue

Toute fonction continue sur $[a; b]$ admet une intégrale sur cet intervalle. En Maths complémentaires, on retient surtout que la continuité garantit l'existence d'une primitive et donc d'une intégrale bien définie.

Exemple : $f (x) = e^{- x}$ , continue sur $R$ , est intégrable sur tout $[a; b]$ .

3. Lien $F (b) - F (a)$ (théorème fondamental)

Si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a; b]$ , alors :

$a \int b f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a) .$

Le résultat ne dépend pas de la primitive choisie. C'est l'outil de calcul central. Exemple : $0 \int 1 x^{2} d x = [\frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{1} = \frac{1}{3}$ .

4. Interprétation en aire

Si $f$ est continue et positive sur $[a; b]$ , alors $a \int b f (x) d x$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe de $f$ , l'axe des abscisses et les droites $x = a$ et $x = b$ .

Pour une fonction de signe quelconque, l'intégrale est une aire algébrique : ce qui est sous l'axe compte négativement. Exemple : $0 \int 2 x d x = 2$ est l'aire du triangle de sommets $(0; 0)$ , $(2; 0)$ , $(2; 2)$ .

5. Propriétés : linéarité

Pour des fonctions continues $f$ , $g$ et des réels $λ$ , $μ$ :

$a \int b (λ f (x) + μg (x)) d x = λ a \int b f (x) d x + μ a \int b g (x) d x .$

Exemple : $0 \int 1 (3 x^{2} + 2 x) d x = 3 \cdot \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{1}{2} = 2$ .

6. Propriétés : relation de Chasles

Pour tout réel $c$ tel que $f$ soit continue sur un intervalle contenant $a$ , $b$ , $c$ :

$a \int b f (x) d x = a \int c f (x) d x + c \int b f (x) d x .$

De plus $a \int a f = 0$ et $b \int a f = - a \int b f$ . Chasles permet de découper une accumulation par périodes (par exemple par phases d'un mouvement ou par tranches de temps).

7. Propriétés : positivité et ordre

Positivité : si $a \leq b$ et $f \geq 0$ , alors $a \int b f (x) d x \geq 0$ .

Ordre : si $a \leq b$ et $f \leq g$ , alors $a \int b f (x) d x \leq a \int b g (x) d x$ . Cela permet d'encadrer une intégrale sans la calculer.

8. Valeur moyenne d'une fonction

La valeur moyenne de $f$ sur $[a; b]$ (avec $a < b$ ) est :

$μ = \frac{1}{b - a} a \int b f (x) d x .$

C'est la hauteur du rectangle de base $[a; b]$ ayant la même aire que le domaine sous la courbe. En contexte, $μ$ représente une moyenne continue (température moyenne, débit moyen, prix moyen). Exemple : la valeur moyenne de $f (x) = x^{2}$ sur $[0; 1]$ vaut $\frac{1}{1} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$ .

9. Quantité accumulée (physique, économie)

Lorsque $f$ est un taux (vitesse, débit, intensité, taux de production), l'intégrale donne la quantité accumulée. Si $v (t)$ est une vitesse, la distance parcourue entre $t_{1}$ et $t_{2}$ est :

$d = t_{1} \int t_{2} v (t) d t .$

De même, si $C^{'} (q)$ est un coût marginal, le coût supplémentaire pour passer de $q_{1}$ à $q_{2}$ unités est $q_{1} \int q_{2} C^{'} (q) d q = C (q_{2}) - C (q_{1})$ . Exemple : à débit constant $D$ (L/min) pendant $T$ minutes, le volume est $0 \int T D d t = D T$ .

10. Aire entre deux courbes

Si $f \geq g$ sur $[a; b]$ , l'aire du domaine entre les deux courbes vaut :

$A = a \int b (f (x) - g (x)) d x .$

On intègre toujours courbe du haut moins courbe du bas, ce qui garantit un résultat positif. En économie, l'aire entre deux courbes peut représenter un surplus ou un gain cumulé. Exemple : entre $f (x) = 2 x$ et $g (x) = x$ sur $[0; 1]$ , $A = 0 \int 1 x d x = \frac{1}{2}$ .

11. Synthèse

Le calcul intégral relie une primitive à une accumulation : $a \int b f = F (b) - F (a)$ . Selon le contexte, cette accumulation s'interprète comme une aire, une quantité cumulée (distance, volume, coût) ou une valeur moyenne. Linéarité, Chasles, positivité et ordre en sont les outils opératoires.

✍️ Exemples résolus & démonstrations

Exemple 1 — Calculer une intégrale $F (b) - F (a)$

Énoncé. Calculer $I = 0 \int 2 (2 x + e^{x}) d x$ .

Solution.

La fonction $x \mapsto 2 x + e^{x}$ est continue sur $[0; 2]$ , elle admet donc des primitives sur cet intervalle.
On cherche une primitive $F$ terme à terme : une primitive de $2 x$ est $x^{2}$ , et une primitive de $e^{x}$ est $e^{x}$ . On prend donc $F (x) = x^{2} + e^{x}$ .
Vérification : $F^{'} (x) = 2 x + e^{x}$ , ce qui correspond bien à l'intégrande.
On applique $I = F (2) - F (0)$ : $F (2) = 2^{2} + e^{2} = 4 + e^{2}$ et $F (0) = 0^{2} + e^{0} = 1$ .
On conclut : $I = (4 + e^{2}) - 1 = 3 + e^{2} \approx 10, 39$ .

Exemple 2 — Valeur moyenne d'une fonction

Énoncé. La température (en °C) dans une serre entre $6$ h et $18$ h est modélisée, pour $t$ en heures avec $t \in [6; 18]$ , par $f (t) = - \frac{1}{4} (t - 12)^{2} + 25$ . Déterminer la température moyenne sur cette journée.

Solution.

La valeur moyenne de $f$ sur $[6; 18]$ est $m = \frac{1}{18 - 6} 6 \int 18 f (t) d t = \frac{1}{12} 6 \int 18 (- \frac{1}{4} (t - 12)^{2} + 25) d t$ .
On cherche une primitive $F$ : une primitive de $- \frac{1}{4} (t - 12)^{2}$ est $- \frac{1}{12} (t - 12)^{3}$ , et une primitive de $25$ est $25 t$ . Donc $F (t) = - \frac{1}{12} (t - 12)^{3} + 25 t$ .
On évalue : $F (18) = - \frac{1}{12} \times 6^{3} + 25 \times 18 = - \frac{216}{12} + 450 = - 18 + 450 = 432$ et $F (6) = - \frac{1}{12} \times (- 6)^{3} + 25 \times 6 = 18 + 150 = 168$ .
Ainsi $6 \int 18 f (t) d t = F (18) - F (6) = 432 - 168 = 264$ .
On conclut : $m = \frac{1}{12} \times 264 = 22$ . La température moyenne est de $22$ °C.

Exemple 3 — Quantité cumulée (contexte concret)

Énoncé. Un réservoir reçoit de l'eau avec un débit, en litres par minute, donné par $d (t) = 3 t + 5$ pour $t$ en minutes, $t \in [0; 10]$ . Calculer le volume total d'eau, en litres, ajouté entre $t = 0$ et $t = 10$ minutes.

Solution.

Le volume cumulé est l'intégrale du débit : $V = 0 \int 10 (3 t + 5) d t$ , exprimé en litres.
On cherche une primitive $F$ : une primitive de $3 t$ est $\frac{3}{2} t^{2}$ , et une primitive de $5$ est $5 t$ . Donc $F (t) = \frac{3}{2} t^{2} + 5 t$ .
Vérification : $F^{'} (t) = 3 t + 5$ , ce qui correspond bien au débit.
On évalue : $F (10) = \frac{3}{2} \times 1 0^{2} + 5 \times 10 = \frac{3}{2} \times 100 + 50 = 150 + 50 = 200$ et $F (0) = 0$ .
On conclut : $V = F (10) - F (0) = 200$ litres ont été ajoutés en $10$ minutes.

🔑 Formules clés à retenir

Primitive : $F$ est une primitive de $f$ si $F^{'} = f$ ; deux primitives diffèrent d'une constante.
Calcul (théorème fondamental) : si $F^{'} = f$ , alors $a \int b f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)$ .
Linéarité : $a \int b (λ f + μg) (x) d x = λ a \int b f (x) d x + μ a \int b g (x) d x$ .
Relation de Chasles : $a \int b f = a \int c f + c \int b f$ , avec $a \int a f = 0$ et $b \int a f = - a \int b f$ .
Positivité : si $a \leq b$ et $f \geq 0$ , alors $a \int b f (x) d x \geq 0$ .
Ordre : si $a \leq b$ et $f \leq g$ , alors $a \int b f (x) d x \leq a \int b g (x) d x$ .
Valeur moyenne : $μ = \frac{1}{b - a} a \int b f (x) d x$ .
Quantité accumulée : si $f$ est un taux, la quantité cumulée entre $a$ et $b$ est $a \int b f (x) d x$ (ex. distance $= t_{1} \int t_{2} v (t) d t$ ).
Aire entre deux courbes (avec $f \geq g$ ) : $A = a \int b (f (x) - g (x)) d x$ .

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

Signe de l'aire : si $f < 0$ sur une partie de $[a; b]$ , l'intégrale y est négative. Pour une aire géométrique (toujours positive), intégrer $∣ f ∣$ ou découper l'intervalle selon le signe de $f$ .
Sens des bornes : $b \int a f = - a \int b f$ . Les propriétés de positivité et d'ordre supposent $a \leq b$ : ne pas les appliquer avec des bornes inversées.
Crochet bien posé : ne pas oublier de soustraire $F (a)$ : écrire systématiquement $[F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)$ , et attention aux signes quand $F (a) < 0$ .
Valeur moyenne : ne pas confondre $μ$ avec $a \int b f$ : il faut diviser par $b - a$ .
Unités : pour une quantité accumulée, vérifier la cohérence des unités (un taux en L/min intégré sur des minutes donne des litres). Toujours préciser l'unité du résultat.
Ordre des courbes : pour une aire entre deux courbes, faire haut moins bas ; si les courbes se croisent sur $[a; b]$ , découper aux points d'intersection.
Continuité d'abord : toutes ces formules exigent $f$ continue sur $[a; b]$ ; repérer les valeurs interdites (ex. $\frac{1}{x}$ sur un intervalle contenant $0$ ).

Calcul intégral — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

47 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

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Exercices Faciles

16 exercices

Aire entre deux paraboles

Facile

Énoncé

On considère les fonctions $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x$ sur $R$ .

Déterminer les points d'intersection de leurs courbes représentatives.
Calculer l'aire de la région délimitée par ces deux courbes.

Ma réponse

Calcul intégral

Calcul intégral — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

1. Primitive et intégrale

2. Intégrale d'une fonction continue

3. Lien F(b)−F(a) (théorème fondamental)

4. Interprétation en aire

5. Propriétés : linéarité

6. Propriétés : relation de Chasles

7. Propriétés : positivité et ordre

8. Valeur moyenne d'une fonction

9. Quantité accumulée (physique, économie)

10. Aire entre deux courbes

11. Synthèse

✍️ Exemples résolus & démonstrations

Exemple 1 — Calculer une intégrale F(b)−F(a)

Exemple 2 — Valeur moyenne d'une fonction

Exemple 3 — Quantité cumulée (contexte concret)

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

Calcul intégral — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Aire entre deux paraboles

Aire entre une droite et une courbe

Application — Distance parcourue

Intégrale d'un polynôme, aire et valeur moyenne

Intégrale d'une fonction exponentielle, aire et valeur moyenne

Intégrale définie simple — calcul numérique

Intégration par parties — Calcul de base

Intégration par parties : $\int x e^x\,dx$

Intégration par parties — Logarithme

IPP : $\int x \ln x\,dx$

Calcul d'intégrale par primitive et aire sous une courbe

Primitive vérifiant une condition initiale

Primitives usuelles — calcul direct

Relation de Chasles — décomposition d'un intervalle

Substitution simple : $\int (2x+1)^4\,dx$

Valeur moyenne — Fonction carrée

Exercices Intermédiaires

Aire entre deux courbes : cas avec changement de signe

Aire entre deux courbes — intersection à trouver

Aire entre une courbe et l'axe des abscisses

Aire entre une sinusoïde et une droite

Application — Accumulation de population

Refroidissement : baisse cumulée de température et vitesse moyenne

Débit d'un robinet : volume d'eau cumulé et débit moyen

Calcul d'une intégrale par décomposition

Débit et accumulation — Vidange d'un réservoir

Quantité cumulée d'eau et débit moyen

Intégration par parties — Fonction $x^2 e^x$

Intégration par parties — Produit avec sinus

IPP double : $\int e^x \cos x\,dx$

Substitution trigonométrique

Puissance moyenne d'un panneau solaire entre 6h et 18h

Valeur moyenne — Interprétation géométrique

Exercices Difficiles

Accumulation et bilan énergétique

Aire entre deux courbes et bénéfice cumulé

Aire entre deux courbes avec changement de dominance

Aire entre une parabole et une droite — contexte géométrique

Aire entre deux courbes et coût supplémentaire cumulé

Aire entre deux courbes et recette supplémentaire cumulée

Détermination d'une borne par la valeur de l'intégrale

Double intégration par parties — Démonstration d'une formule

Intégrale avec changement de signe — valeur absolue

Intégrale impliquant $e^x$ — modélisation démographique

IPP et équation différentielle : unicité d'une intégrale

Substitution et aire d'une demi-ellipse

Valeur moyenne et équation — Température

Vitesse et position — Mouvement non uniforme

Volume de révolution par IPP

Exercices supplémentaires

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Quiz — Calcul intégral

Continue ton chapitre là où tu l'as laissé

3. Lien $F (b) - F (a)$ (théorème fondamental)

Exemple 1 — Calculer une intégrale $F (b) - F (a)$