Soit f ( x ) = x 3 − x = x ( x − 1 ) ( x + 1 ) . Étudier le signe de f sur [ − 1 ; 2 ] . Calculer − 1 ∫ 2 ∣ f ( x ) ∣ d x .

Intégrale avec changement de signe — valeur absolue

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Soit $f (x) = x^{3} - x = x (x - 1) (x + 1)$ .

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1 Indice 1

Factorise $f(x)=x(x-1)(x+1)$ et détermine le signe de chaque facteur sur $[-1;2]$ pour en déduire le signe de $f$ sur chaque sous-intervalle.

2 Indice 2

Découpe l'intégrale en morceaux selon le signe de $f$ : là où $f$ est négative, $|f(x)| = -f(x)$.

3 Indice 3

Calcule une primitive de $f$ (ou de $-f$) sur chaque sous-intervalle puis additionne les valeurs absolues des résultats.

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