Aire entre deux courbes et recette supplémentaire cumulée

Partie A — Aire entre deux courbes.

On considère les fonctions f et g définies sur $[0;3]$ par $$f(x)=6x\text{et}g(x)=x^2+3x.$$

1. Étudier le signe de $f(x)-g(x)$ sur $[0;3]$ et préciser quelle courbe est au-dessus de l'autre sur cet intervalle.

2. Calculer, en unités d'aire, l'aire $\mathcal{A}$ du domaine compris entre les deux courbes sur $[0;3]$.

Partie B — Recette supplémentaire cumulée.

Une entreprise vend un produit. Pour une quantité $x$ (en centaines d'articles), avec $x\in [1;4]$, la recette marginale, exprimée en milliers d'euros par centaine d'articles, est modélisée par :

$$R^{\prime }(x)=5-\frac{4}{x}.$$

3. Calculer la recette supplémentaire $\Delta R=\underset{1}{\overset{4}{\int }}{R}^{\prime }(x)dx$ engendrée lorsque les ventes passent de $1$ à $4$ centaines d'articles. Donner la valeur exacte puis une valeur approchée au centième.

4. Déterminer la valeur moyenne de la recette marginale sur $[1;4]$.