Soient f ( x ) = sin ( x ) et g ( x ) = cos ( x ) sur [ 0 ; 2 3 π ] . Trouver les valeurs de x pour lesquelles f ( x ) = g ( x ) . Étudier lequel de f ou g est le plus grand sur chaque sous-intervalle. Calculer l'aire totale délimitée par les deux courbes.

Aire entre deux courbes avec changement de dominance

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

Soient $f (x) = sin (x)$ et $g (x) = cos (x)$ sur $[0; \frac{3 π}{2}]$ .

Trouver les valeurs de $x$ pour lesquelles $f (x) = g (x)$ .
Étudier lequel de $f$ ou $g$ est le plus grand sur chaque sous-intervalle.
Calculer l'aire totale délimitée par les deux courbes.

Indices

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1 Indice 1

Pour trouver où $f(x)=g(x)$, résous $\sin(x)=\cos(x)$ en divisant par $\cos(x)$ (quand il est non nul) pour obtenir une équation en $\tan(x)$.

2 Indice 2

Teste le signe de $f(x)-g(x)$ sur chaque sous-intervalle délimité par les points d'intersection trouvés, pour savoir quelle courbe est au-dessus.

3 Indice 3

L'aire entre deux courbes sur un intervalle où l'une domine s'obtient avec $\displaystyle\int (\text{fonction du dessus} - \text{fonction du dessous})\,dx$ ; additionne les aires des différents sous-intervalles.

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