Aire entre deux courbes et bénéfice cumulé

Partie A — Aire entre deux courbes.

On considère les fonctions f et g définies sur $[0;2]$ par $$f(x)=4-x^2\text{et}g(x)=x^2.$$

1. Étudier le signe de $f(x)-g(x)$ sur $[0;2]$ et préciser sur quel intervalle la courbe de f est au-dessus de celle de g.

2. On restreint l'étude à l'intervalle $[0;1]$, où $f\ge g$. Calculer, en unités d'aire, l'aire $\mathcal{A}$ du domaine compris entre les deux courbes sur $[0;1]$.

Partie B — Bénéfice cumulé.

Une entreprise vend un produit. Pour une quantité $x$ (en milliers d'unités), avec $x\in [1;4]$, le bénéfice marginal, exprimé en milliers d'euros par millier d'unités, est modélisé par :

$$B^{\prime }(x)=6-\frac{4}{x}.$$

3. Calculer le bénéfice supplémentaire $\Delta B=\underset{1}{\overset{4}{\int }}{B}^{\prime }(x)dx$ obtenu lorsque la quantité vendue passe de $1$ à $4$ milliers d'unités. Donner la valeur exacte puis une valeur approchée au centième.

4. Déterminer la valeur moyenne du bénéfice marginal sur $[1;4]$.