Preuve et comparaison : eˣ vs polynôme

On considère $f(x)=e^x-x-1$ définie sur $\mathbb{R}$.

1. Calculer $f^{\prime }(x)$ et montrer que $f$ est décroissante puis croissante.
2. En déduire que $e^x\ge 1+x$ pour tout $x$, avec égalité ssi $x=0$.
3. En appliquant à $u=-x$, montrer $e^{-x}\ge 1-x$ puis $\frac{1}{1+x}\le e^{-x}$ pour $x>-1$.
4. Poser $g(x)=\ln (1+x)-x+\frac{x^2}{2}$ et montrer $g(x)\le 0$ pour $x>-1$.