Preuve d inégalité par convexité et TVI combinés

Soit $f(x)=x\ln (x)$ sur $]0;+\infty [$.

1. Calculer $f^{\prime }(x)$ et $f^{\prime \prime }(x)$. Montrer que $f$ est convexe.
2. Démontrer $\frac{a\ln a+b\ln b}{2}\ge \frac{a+b}{2}\ln \left(\frac{a+b}{2}\right)$ pour $a,b>0$.
3. Poser $g(x)=x\ln (x)-x+1$ et montrer $x\ln (x)\ge x-1$ pour tout $x>0$.