On considère la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $$h(x)=(x^2-3)e^x.$$

1. Calculer $h^{\prime }(x)$ et montrer que $h^{\prime }(x)=(x+3)(x-1)e^x$.

2. Étudier le signe de $h^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variation de $h$ sur $\mathbb{R}$.

3. Calculer la dérivée seconde et montrer que $h^{\prime \prime }(x)=(x^2+4x-1)e^x$.

4. Étudier la convexité de $h$ et déterminer les abscisses des points d'inflexion de sa courbe.

Dans une expérience, la taille d'une population de bactéries (en millions) est modélisée pour $t⩾0$ (en heures) par $$N(t)=t^2{e}^{-t}.$$

1. Calculer $N^{\prime }(t)$ et montrer que $$N^{\prime }(t)=t(2-t)e^{-t}.$$

2. Étudier le signe de $N^{\prime }(t)$ sur $[0;+\infty [$ et dresser le tableau de variation de $N$. À quel instant la population est-elle maximale ?

3. Calculer la dérivée seconde et montrer que $$N^{\prime \prime }(t)=(t^2-4t+2)e^{-t}.$$

4. Étudier la convexité de $N$ sur $[0;+\infty [$ et déterminer les abscisses des points d'inflexion de sa courbe.

Soit $f(x)=x^2{e}^{-x}$ et $h(x)=\ln (f(x))$.

1. Déterminer le domaine de $h$.
2. Simplifier $h(x)$.
3. Calculer $h^{\prime }(x)$ par deux méthodes.
4. Étudier les variations de $h$ et ses limites aux bornes.

Soit $f(x)=\sin (x^2)$.

1. Calculer $f^{\prime }(x)$ par la règle de la chaîne.
2. Calculer $f^{\prime \prime }(x)$.
3. Déterminer les points d'inflexion dans $[0,\sqrt{2\pi }]$.

Coût de production : $C(q)=q^3-9q^2+24q+10$, $q\in [0,6]$.

1. Calculer $C^{\prime }(q)$ et $C^{\prime \prime }(q)$.
2. Étudier la convexité et interpréter économiquement le point d'inflexion.
3. Déterminer les extrema locaux et globaux sur $[0,6]$.

Soit $f(x)=(2x-3)e^x$ définie sur $\mathbb{R}$.

1. Calculer $f^{\prime }(x)$ et $f^{\prime \prime }(x)$.
2. Dresser le tableau de variations de $f$.
3. Déterminer la position de la courbe par rapport à sa tangente au point d'inflexion.
4. Calculer $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx$.

Soit $f(x)=\ln (x)-kx$ sur $]0;+\infty [$, $k>0$.

1. Calculer $f^{\prime }(x)$ et montrer que $f$ admet un maximum exprimé en $k$.
2. En déduire $\ln (x)\le kx+\ln (1/k)-1$.
3. Retrouver $\ln (x)\le x-1$ avec $k=1$.
4. Avec $k=1/a$, montrer $a\ln (x)\le x+a\ln (a)-a$.

Soit $f(x)=\frac{x^2-1}{e^x}$ définie sur $\mathbb{R}$.

1. Calculer $f^{\prime }(x)$ et la mettre sous forme factorisée.
2. Dresser le tableau de variations complet avec les limites en $\pm \infty$.
3. Montrer que la courbe admet exactement deux points d'intersection avec l'axe des abscisses et un avec l'axe des ordonnées.
4. Montrer que $f(x)=1$ admet exactement une solution sur $\mathbb{R}$ et l'encadrer à l'entier près.

Soit $f(x)=x^2{e}^{-x}$.

1. Limites en $\pm \infty$ et asymptote.
2. Calculer $f^{\prime }(x)$ et $f^{\prime \prime }(x)$, tableau complet.
3. Tangentes à la courbe parallèles à $Ox$.
4. Montrer que $f$ admet exactement deux points d'inflexion.

Le nombre de bactéries (en milliers) est modélisé par $N(t)=(t^2-2t+3)e^t$, $t\ge 0$.

1. Calculer $N^{\prime }(t)$ et la factoriser.
2. Montrer que $N$ est croissante pour tout $t\ge 0$.
3. Calculer le nombre initial et au bout de 2 heures.
4. Déterminer la plage de croissance accélérée ($N^{\prime \prime }>0$).

Coût marginal : $C(q)=(q^2-4q+5)e^{-q/2}$, $q\ge 0$.

1. Calculer $C^{\prime }(q)$ sous forme $P(q)\cdot e^{-q/2}$.
2. Montrer que $C$ admet un minimum et un maximum local, les calculer.
3. Interpréter économiquement les plages de décroissance de $C$.
4. Montrer que $\underset{q\to +\infty }{\lim }C(q)=0$ et interpréter.

Soit $f(x)=x\ln (x)$ sur $]0;+\infty [$.

1. Calculer $f^{\prime }(x)$ et $f^{\prime \prime }(x)$. Montrer que $f$ est convexe.
2. Démontrer $\frac{a\ln a+b\ln b}{2}\ge \frac{a+b}{2}\ln \left(\frac{a+b}{2}\right)$ pour $a,b>0$.
3. Poser $g(x)=x\ln (x)-x+1$ et montrer $x\ln (x)\ge x-1$ pour tout $x>0$.

On considère $f(x)=e^x-x-1$ définie sur $\mathbb{R}$.

1. Calculer $f^{\prime }(x)$ et montrer que $f$ est décroissante puis croissante.
2. En déduire que $e^x\ge 1+x$ pour tout $x$, avec égalité ssi $x=0$.
3. En appliquant à $u=-x$, montrer $e^{-x}\ge 1-x$ puis $\frac{1}{1+x}\le e^{-x}$ pour $x>-1$.
4. Poser $g(x)=\ln (1+x)-x+\frac{x^2}{2}$ et montrer $g(x)\le 0$ pour $x>-1$.

Une entreprise lance une campagne publicitaire. On modélise le bénéfice supplémentaire qu'elle génère, en milliers d'euros, par la fonction $B$ définie sur $[0;+\infty [$ par $$B(t)=100t{e}^{-0,2t},$$ où $t$ désigne le temps écoulé depuis le début de la campagne, en semaines.

1. Calculer $B(0)$ et interpréter.

2. Montrer que pour tout $t⩾0$ : $$B^{\prime }(t)=100(1-0,2t)e^{-0,2t}.$$

3. Étudier le signe de $B^{\prime }(t)$, dresser le tableau de variations de $B$ et déterminer au bout de combien de semaines le bénéfice supplémentaire est maximal. Donner la valeur exacte de ce maximum.

4. Montrer que $B^{\prime \prime }(t)=100(0,04t-0,4)e^{-0,2t}$, puis déterminer l'instant correspondant au point d'inflexion de la courbe. Interpréter concrètement ce point d'inflexion.