Efficacité d'une campagne publicitaire : maximum et inflexion

Une entreprise lance une campagne publicitaire. On modélise le bénéfice supplémentaire qu'elle génère, en milliers d'euros, par la fonction $B$ définie sur $[0;+\infty [$ par $$B(t)=100t{e}^{-0,2t},$$ où $t$ désigne le temps écoulé depuis le début de la campagne, en semaines.

1. Calculer $B(0)$ et interpréter.

2. Montrer que pour tout $t⩾0$ : $$B^{\prime }(t)=100(1-0,2t)e^{-0,2t}.$$

3. Étudier le signe de $B^{\prime }(t)$, dresser le tableau de variations de $B$ et déterminer au bout de combien de semaines le bénéfice supplémentaire est maximal. Donner la valeur exacte de ce maximum.

4. Montrer que $B^{\prime \prime }(t)=100(0,04t-0,4)e^{-0,2t}$, puis déterminer l'instant correspondant au point d'inflexion de la courbe. Interpréter concrètement ce point d'inflexion.