Coût marginal : C ( q ) = ( q 2 − 4 q + 5 ) e − q /2 , q ≥ 0 . Calculer C ′ ( q ) sous forme P ( q ) ⋅ e − q /2 . Montrer que C admet un minimum et un maximum local, les calculer. Interpréter économiquement les plages de décroissance de C . Montrer que q → + ∞ lim C ( q ) = 0 et interpréter.

Optimisation : fonction de coût en économie

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

Coût marginal : $C (q) = (q^{2} - 4 q + 5) e^{- q /2}$ , $q \geq 0$ .

Calculer $C^{'} (q)$ sous forme $P (q) \cdot e^{- q /2}$ .
Montrer que $C$ admet un minimum et un maximum local, les calculer.
Interpréter économiquement les plages de décroissance de $C$ .
Montrer que $q \to + \infty lim C (q) = 0$ et interpréter.

Indices

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1 Indice 1

Pour deriver $C(q) = (q^2-4q+5)e^{-q/2}$, utilise la formule du produit $(uv)' = u'v + uv'$ avec $u(q) = q^2-4q+5$ et $v(q) = e^{-q/2}$, en n'oubliant pas le facteur $-1/2$ dans la derivee de $v$.

2 Indice 2

Factorise l'expression obtenue par $e^{-q/2}$ pour la mettre sous la forme demandee, puis etudie le signe du polynome restant en calculant son discriminant pour trouver les extrema.

3 Indice 3

Pour la limite en $+\infty$, utilise le theoreme des croissances comparees qui indique qu'une exponentielle decroissante l'emporte toujours sur un polynome.

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