Le nombre de bactéries (en milliers) est modélisé par N ( t ) = ( t 2 − 2 t + 3 ) e t , t ≥ 0 . Calculer N ′ ( t ) et la factoriser. Montrer que N est croissante pour tout t ≥ 0 . Calculer le nombre initial et au bout de 2 heures. Déterminer la plage de croissance accélérée ( N ′′ > 0 ).

Modélisation : population bactérienne

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

Le nombre de bactéries (en milliers) est modélisé par $N (t) = (t^{2} - 2 t + 3) e^{t}$ , $t \geq 0$ .

Calculer $N^{'} (t)$ et la factoriser.
Montrer que $N$ est croissante pour tout $t \geq 0$ .
Calculer le nombre initial et au bout de 2 heures.
Déterminer la plage de croissance accélérée ( $N^{''} > 0$ ).

Indices

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1 Indice 1

Pour deriver $N(t) = (t^2-2t+3)e^t$, utilise la formule du produit $(uv)' = u'v + uv'$, puis factorise le resultat par $e^t$ et simplifie le polynome obtenu.

2 Indice 2

Pour montrer que $N$ est croissante, etudie le signe du polynome factorise dans $N'(t)$ : calcule son discriminant pour voir s'il possede des racines reelles.

3 Indice 3

Pour la question 4, derive $N'(t)$ pour obtenir $N''(t)$, factorise a nouveau par $e^t$, et cherche a reconnaitre une identite remarquable dans le polynome restant pour etudier son signe facilement.

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