Soit f ( x ) = x 2 e − x . Limites en ± ∞ et asymptote. Calculer f ′ ( x ) et f ′′ ( x ) , tableau complet. Tangentes à la courbe parallèles à O x . Montrer que f admet exactement deux points d'inflexion.

Étude de f(x) = x²·e^{−x} — maximum, asymptote et tangente

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Soit $f (x) = x^{2} e^{- x}$ .

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1 Indice 1

Pour les limites, souviens-toi que les croissances comparées donnent $\lim_{x\to+\infty} x^2 e^{-x}=0$ ; étudie séparément le cas $x\to-\infty$.

2 Indice 2

Pour dériver $f(x)=x^2e^{-x}$, utilise la formule du produit $(uv)'=u'v+uv'$ avec $u=x^2$ et $v=e^{-x}$, puis factorise le résultat.

3 Indice 3

Pour les points d'inflexion, cherche les valeurs où $f''(x)$ s'annule en changeant de signe : résous $x^2-4x+2=0$.

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