Soit f ( x ) = ln ( x ) − k x sur ] 0 ; + ∞ [ , k > 0 . Calculer f ′ ( x ) et montrer que f admet un maximum exprimé en k . En déduire ln ( x ) ≤ k x + ln ( 1/ k ) − 1 . Retrouver ln ( x ) ≤ x − 1 avec k = 1 . Avec k = 1/ a , montrer a ln ( x ) ≤ x + a ln ( a ) − a .

Étude de f(x) = a·ln(x) + bx + c avec paramètre — niveau difficile

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Soit $f (x) = ln (x) - k x$ sur $] 0; + \infty [$ , $k > 0$ .

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1 Indice 1

Calcule $f'(x)$ et etudie son signe pour trouver la valeur de $x$ ou $f$ atteint son maximum, en fonction de $k$.

2 Indice 2

Comme $f$ admet un maximum, pour tout $x$ on a $f(x)\\le f(1/k)$ : remplace cette valeur maximale pour obtenir l'inegalite demandee.

3 Indice 3

Pour les questions 3 et 4, remplace simplement $k$ par la valeur indiquee dans l'inegalite generale trouvee a la question 2.

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