Soit f ( x ) = ( 2 x − 3 ) e x définie sur R . Calculer f ′ ( x ) et f ′′ ( x ) . Dresser le tableau de variations de f . Déterminer la position de la courbe par rapport à sa tangente au point d'inflexion. Calculer 0 ∫ 1 f ( x ) d x .

Étude complète de f(x) = (2x–3)e^x

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

Soit $f (x) = (2 x - 3) e^{x}$ définie sur $R$ .

Calculer $f^{'} (x)$ et $f^{''} (x)$ .
Dresser le tableau de variations de $f$ .
Déterminer la position de la courbe par rapport à sa tangente au point d'inflexion.
Calculer $0 \int 1 f (x) d x$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour deriver $f(x) = (2x-3)e^x$, utilise la formule de derivation d'un produit $(uv)' = u'v + uv'$ avec $u(x) = 2x-3$ et $v(x) = e^x$, puis factorise le resultat par $e^x$.

2 Indice 2

Pour dresser le tableau de variations, etudie le signe de $f'(x)$ ; comme $e^x$ est toujours positif, le signe de $f'(x)$ depend uniquement du facteur restant.

3 Indice 3

Pour le point d'inflexion, cherche ou $f''(x)$ s'annule et change de signe. Pour l'integrale, utilise une integration par parties avec $u = 2x-3$ et $v' = e^x$.

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