Coût de production : C ( q ) = q 3 − 9 q 2 + 24 q + 10 , q ∈ [ 0 , 6 ] . Calculer C ′ ( q ) et C ′′ ( q ) . Étudier la convexité et interpréter économiquement le point d'inflexion. Déterminer les extrema locaux et globaux sur [ 0 , 6 ] .

Dérivée seconde et optimisation — coût de production

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

Coût de production : $C (q) = q^{3} - 9 q^{2} + 24 q + 10$ , $q \in [0, 6]$ .

Calculer $C^{'} (q)$ et $C^{''} (q)$ .
Étudier la convexité et interpréter économiquement le point d'inflexion.
Déterminer les extrema locaux et globaux sur $[0, 6]$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour la question 1, derive $C(q)$ une premiere fois pour obtenir $C'(q)$, puis derive encore une fois pour obtenir $C''(q)$.

2 Indice 2

Pour la question 2, etudie le signe de $C''(q)$ sur $[0,6]$ pour determiner les intervalles de convexite et de concavite, puis identifie la valeur de $q$ ou $C''$ s'annule en changeant de signe.

3 Indice 3

Pour la question 3, utilise le signe de $C'(q)$ pour dresser le tableau de variations de $C$ sur $[0,6]$, puis compare les valeurs aux bornes et aux points critiques pour trouver les extrema globaux.

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