Étude de $x-2\ln x$ : variations et convexité

On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty [$ par $$f(x)=x-2\ln x.$$

1. Calculer $f^{\prime }(x)$ et montrer que $$f^{\prime }(x)=\frac{x-2}{x}.$$

2. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ sur $]0;+\infty [$ et dresser le tableau de variation de $f$. Préciser la valeur du minimum.

3. Calculer la dérivée seconde $f^{\prime \prime }(x)$, puis étudier la convexité de $f$ sur $]0;+\infty [$.

4. La courbe de $f$ admet-elle un point d'inflexion ? Justifier.