Croissance d'une population : étude de $x^2 e^{-x}$

Dans une expérience, la taille d'une population de bactéries (en millions) est modélisée pour $t⩾0$ (en heures) par $$N(t)=t^2{e}^{-t}.$$

1. Calculer $N^{\prime }(t)$ et montrer que $$N^{\prime }(t)=t(2-t)e^{-t}.$$

2. Étudier le signe de $N^{\prime }(t)$ sur $[0;+\infty [$ et dresser le tableau de variation de $N$. À quel instant la population est-elle maximale ?

3. Calculer la dérivée seconde et montrer que $$N^{\prime \prime }(t)=(t^2-4t+2)e^{-t}.$$

4. Étudier la convexité de $N$ sur $[0;+\infty [$ et déterminer les abscisses des points d'inflexion de sa courbe.