Convexité et points d'inflexion de $\ln(x^2+1)$

On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $$g(x)=\ln (x^2+1).$$

1. Justifier que $g$ est bien définie sur $\mathbb{R}$, puis calculer $g^{\prime }(x)$.

2. En déduire le sens de variation de $g$ sur $\mathbb{R}$.

3. Calculer la dérivée seconde $g^{\prime \prime }(x)$ et montrer que $$g^{\prime \prime }(x)=\frac{2(1-x^2)}{(x^2+1{)}^2}.$$

4. Étudier le signe de $g^{\prime \prime }(x)$, en déduire la convexité de $g$ et préciser les abscisses des points d'inflexion de sa courbe.